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mathsnail思维之思维，分析之分析！ |
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June 09 00Duong Phong I have always been fascinated by the power of mathematics in explaining some of the most complex natural phenomena. Some of my greatest early thrills came from appreciating how calculus can explain Kepler's laws of planetary motion, and how much information is encoded in the deceptively simple Maxwell equations. The role of mathematics in formulating and exploring natural laws is expanding, and this is a very exciting development for the young mathematicians of the 21st century.
Mathematics is also distinguished by its mental discipline and uncompromising rigor. This aspect can be tedious at times, but it becomes particularly valuable in areas of science where experimental confirmation is hard to come by.
I should say that I find mathematics very difficult. Research is for me a constant struggle with my own ignorance and confusion, and no progress has materialized for me without its heavy toll in effort and frustration. So I cannot say that I experience often the almost childish joy described by many mathematicians when they work on their discipline. But I certainly share their intense satisfaction when progress is made.
In the world of mathematics, I have encountered some of the most brilliant, generous, and righteous people that I have ever met. It is a great privilege to live in this world. May 10 数学猜想的罗生门十几年来，没有哪一届国际数学家大会，能像8月22日将在西班牙马德里召开的2006年国际数学家大会(ICM2006)这样引人注目。
早在几个月前，ICM2006的网站上，就贴出了这样的消息:“一个有100年历史的数学难题的证明，将在本届大会上宣布。”尽管做出欲说还休的姿态，但看一眼会议的日程表——8月22日17:15至18:15，里查德·汉密尔顿(Richard Hamilton)，题目:庞加莱猜想。答案 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后，庞加莱一度认为，自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。 20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特黑德(Whitehead)对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特黑德流形。 50年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念，大家都称呼他“帕帕”(Papa)。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”(Dehn's Lemma)而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺(John Milnor)曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。 这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科。 一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。 1966年菲尔茨奖得主斯梅尔(Smale)，在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明，立时引起轰动。 10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼(Freed man)将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿(Thruston)就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得了1983年的菲尔茨奖。 然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。 人们在期待一个新的工具的出现。 “就像费马大定理，当谷山志村猜想被证明后，尽管人们还看不到具体的前景，但所有的人心中都有数了。因为，一个可以解决问题的工具出现了。” 清华大学数学系主任文志英说。 可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？ 工具有了 里查德·汉密尔顿，生于1943年，比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。 1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此获得菲尔茨奖。1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是，我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。” Ricci流，以 意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中，就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。 第一次见到曹怀东，是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间，几乎所有的媒体都在找曹怀东，但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他，在会场里走了好几圈，居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家，依然是远离公众视线的象牙塔中人，即使是名动天下如威滕(Witten)，坐在后排，俨然也是大隐隐于市的模样。 1982年，曹怀东考取丘成桐的博士。1984年，当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时，曹怀东也跟了过来。但是，他的绝大多数时间，是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时，丘成桐的4名博士生，全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的，是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文，提出很多好的观点，可是，因为个性和环境的原因，在没有拿到大学的终身教职后，施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄，时至今日，丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是，如果，当时的施皖雄坚持下去，今天关于庞加莱猜想的故事，是否会被改写？ 在使用Ricci流进行空间变换时，到后来，总会出现无法控制走向的点。这些点，叫做奇点。如何掌握它们的动向，是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。 1995年，丘成桐来到北京。这次，跟他一起来的，还有汉密尔顿。做演讲的时候，丘成桐提出了口号，向汉密尔顿学习。随后，又在新建的晨兴数学中心，开设了关于Ricci流的讨论班。当时在中山大学的朱熹平，便在这段时间跟了上来。 朱熹平最早的研究方向，是与Ricci流关系并不大的偏微分方程。但是，遇到丘成桐后，他开始转型。“那段时间很痛苦的，几乎没什么文章出来。”朱熹平说，“幸好中山大学的制度，工资高，收入只有很少一部分与课题基金和论文挂钩，这才坚持下来。”在报章一度的渲染中，专心研究Ricci流和三维庞加莱猜想的朱熹平，被描述为几年没有论文发表。问及此事，朱熹平哈哈一笑:“我有那么差吗？”事实上，在很短的时间内，他就完成了转型，而且在《数学发明》等著名数学专业杂志上，也先后发表过多篇文章。 汉密尔顿提出的Ricci流，实际上可以分为两类。一种是在实流形上作的实Ricci流，它与三维庞加莱猜想的证明密切相关，另一种是在复流形上作的复Ricci流，它有很多重要的应用，但与庞加莱猜想无关。最早跟随汉密尔顿进行Ricci流研究的曹怀东，主要的方向，其实是复Ricci流。丘成桐的其他一些弟子也不例外。直到后期，部分人才开始转到实Ricci流的方向。后转型的朱熹平，因为用功、投入和耐心，没过多久，就成为国内做实Ricci流最出色的数学家，而他的实干与低调，也赢得了丘成桐格外的青睐。 然而，尽管曹怀东、朱熹平以及朱的学生陈兵龙在Ricci流的研究上取得了很多进展，但是，无论是汉密尔顿还是他们，几经周折，都没能找出解决奇点的好办法。随着拓扑手术次数的增加，奇点也会递增，最终失去控制。几年的时间里，在这个最关键的问题上，研究几乎停滞了。 就在关于Ricci流的工作陷入山重水复疑无路的情形持续了几年之后，远在圣彼得堡的一位特立独行的大胡子数学家，却在几乎不为外界所知的半隐居中，找到了解决问题的柳暗花明又一村。 格里沙！ 2002年11月12日，当时在麻省理工学院数学系任教授的田刚在信箱中看到一封显示发件人为“格利高里·佩雷尔曼”(Grigori Perelman)的邮件。 标题:新的预印本 亲爱的田， 可否请你关注我发表在arXiv数学网站上的论文，DG 0211159。 摘要:我们提出了一个Ricci流的单调式，在所有的维度中成立且无需曲率假设……我们还验证了与理查德·汉密尔顿关于瑟斯顿封闭三维流形几何化猜想证明的纲领相关的一些假设，使用先前关于局部曲率下界的塌陷结果，给出了对这一猜想的证明概要。 格里沙·佩雷尔曼 三天之后的晚上，田刚写下了这封回信。 标题:回复:新的预印本 亲爱的格里沙，我正在阅读你的论文。很有意思。你是否愿意访问MIT并就这一工作做几个演讲？ 田刚 佩雷尔曼的全名，是格利高里·雅科夫列维奇·佩雷尔曼，但熟悉的人，通常都叫他格里沙。生于1966年的佩雷尔曼，中学时就读的是著名的圣彼得堡第239中，这所学校，一向以高等数学和物理教学闻名。1982年，作为一名高中学生，佩雷尔曼参加了国际数学奥林匹克竞赛，并以满分的成绩获得金牌。此后，他在圣彼得堡大学获得了博士学位，接着在斯特科洛夫研究所(Steklov Institute of Mathematics)谋得职位。1992年秋天，佩雷尔曼前往美国纽约大学库朗研究所访问，随后，又于1993年春天，到了纽约州立大学的石溪分校。就是在这期间，当时就职于库朗研究所的田刚认识了佩雷尔曼。 田刚回忆道，那时候，佩雷尔曼的研究方向，并不是几何分析和Ricci流，而是度量几何。“他的思路很敏捷，做东西技术性和技巧性很强，而且很严谨。”1994年，在加州大学伯克利分校任职米勒访问学者(Miller Fellow)时，佩雷尔曼证明了著名的灵魂猜测(Soul Conjecture)，为他赢得了国际声誉。此外，他还曾被邀请在国际数学家大会上做报告。大约在1994年左右，汉密尔顿到库朗研究所作了一个关于Ricci流的报告，佩雷尔曼也是听众之一。“让大家都有点惊讶的是，他居然提了一个关于奇点的问题”——如何解决手术过程中产生的奇点，正是证明庞加莱猜想中的关键一步——“现在看来，那个时候，佩雷尔曼就应该已经对解决庞加莱猜想产生了兴趣。”田刚说。 在米勒访问学者期满后，佩雷尔曼回到圣彼得堡，继续“安静地”任职于斯特科洛夫研究所。有一次，田刚遇到一位当时曾与佩雷尔曼共事的数学家，向他打听佩雷尔曼的近况。得到的消息是，佩雷尔曼几乎已经离群索居，没人知道他在做些什么。然后，就到了2002年11月。就像阿拉丁神灯中的神仙一样，佩雷尔曼现身了，而且，带着有可能是正确的庞加莱猜想的证明论文。 佩雷尔曼的第一篇论文，发表在arXiv网站上。这是一个著名的学术论文网站，最开始的用户多为物理学家，随后，数学家们也纷纷在上面发表自己的论文预印本，以供同行参照评议。不过，通常而言，发表在arXiv网站上的文章不被认为是正式发表的学术论文。 建立一个关键的椭圆形估计，应用粗细分解，来给出瑟斯顿几何化猜测的证明，这被认为是佩雷尔曼的“神来之笔”。在随后发表于网上的第二篇论文中，佩雷尔曼给出了更多的证明细节。看过论文的田刚，益发认识到这项工作的重要性。而“几乎是幸运的”，2002年12月3日，佩雷尔曼给田刚回了信，表示愿意到麻省理工学院演讲。 在一般的描述中，佩雷尔曼是一个怪人:胡子头发都很长，不修边幅，衣服经常很久不洗。今年40岁的他，至今单身，与母亲生活在一起。因为父亲去世早，佩雷尔曼事母至孝，又一种说法是，当时他在美国，曾经有很多学校邀请他任教，但佩雷尔曼坚持回国，原因就是牵挂母亲。2003年访问麻省理工学院时，他的条件之一，就是要携母同行。 不过，在田刚的眼中，佩雷尔曼的“怪”，只是远离物质化和名利世界的一种表现。在讨论学术问题时，他和最严谨的数学家一样，愿意就每一个细节认真地回答。2003年的4月7日、9日和11日，佩雷尔曼在麻省理工学院作了3个演讲，除此以外，在两周的访问时间里，他还作了一系列报告，时间超过20个小时，非常仔细地回答每一个问题。这时候，庞加莱猜想被证明的消息，开始流传出去，《纽约时报》和“数学世界”(MathWorld)网站都刊登了相应的消息。 然而，就是在麻省理工学院的讲座后，有数学家表示，佩雷尔曼的文章存在“gaps”(漏洞)，无法读通。就在所有人都期待佩雷尔曼就此作出解释，补全文章的细节之时，佩雷尔曼却不置一词，翩如惊龙，自此隐居不出。两篇文章放在网上，3年多来，没有显示任何准备交由学术杂志发表的迹象。这给曾规定，必须在学术刊物上发表论文才有资格被颁给千年数学问题奖金的克雷数学研究所，出了个不大不小的难题。在接受本刊记者采访时，克雷所所长卡尔森表示，不排除为此修改规定的可能。 可是，佩雷尔曼会接受这笔奖金吗？最近的消息，是他因为不愿参与江湖中的名利之争，已经从斯特科洛夫研究所辞职，靠着10年前在美国访问时的积蓄维生，躲起来思考另一个大问题。因为佩雷尔曼曾经拒绝领取欧洲数学会颁发的一个奖项，很多人怀疑，菲尔茨奖和克雷所的百万悬赏，都未必能打动这个世外高人的心。 三驾马车 如果把庞加莱猜想比作一局棋，在汉密尔顿和佩雷尔曼下完最关键的几步后，余下的，已经是收官的工作。 不能说这个工作不重要。“高手或许一步可以看到7步后的变化，棋艺稍逊的人或许只能看到2步，剩下的5步，就是gaps。”普林斯顿大学数学系的一位教授说，“只有完完整整把每一步的走法写下来，才能算是一个完整的证明。” 而在丘成桐看来，需要做的工作，可能比补上缺失的几步还要多。“一篇论文，从2002年放到现在，3年半的时间，为什么一直没有人站出来说看得懂？关键是其中还有很多问题没有解决。”他认为的关键问题，是几何化猜想，而天降大任于斯人的对象，就是朱熹平和曹怀东。 2005年5月中旬，为了纪念一年前刚刚去世的陈省身先生，丘成桐在哈佛大学组织了一个微分几何的研讨会。朱熹平也被邀请参加这个会议。会议间隙，丘成桐问朱熹平:“做得怎么样了？” “基本上完成了，可是要到暑假的时候才能全部写出来。” 丘成桐当即决定:“你来哈佛，专门讲这个问题。”经哈佛数学系教授表决同意，这一年9月，朱熹平来到了哈佛，向这一领域的专家讲解他和曹怀东的证明论文。每周讲3个小时，一共讲了70多个小时，这些内容与曹怀东的研究结果汇集整理之后，就是后来发表在《亚洲数学杂志》上的328页的《庞加莱猜想和几何化猜想的完全证明——汉密尔顿-佩雷尔曼Ricci流理论的应用》(A Complete Proof of the Poincar and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow)。 《亚洲数学杂志》是丘成桐主编的一本相对比较年轻的杂志。与公认排名前四的《美国数学年刊》、德国的《数学发明》、《美国数学会杂志》和瑞典的《数学学报》相比，分量上的确稍显不足。而且，《亚洲数学杂志》的两名编委，斯瑞尼瓦斯(Srinivas)和普拉萨德(Prasad)在论文发表后写给编委会的邮件中也指出过一些问题:比如，最终发表论文的题目与最初征询编委同意时的题目不一致;直到杂志出版后近半个月的6月13日，杂志全文仍无法下载，与以往惯例不符;论文的审稿没有遵循复杂的程序，留给编委评论的时间也只有3天。之所以会存在这些问题，丘成桐的解释是——“竞争”。虽然在程序上或有可商榷之处，但丘成桐敢于用自己的学术声誉为朱熹平和曹怀东的工作担保:“完完整整，每一步写得清清楚楚，第一次给出了全部的证明，可以用来做教科书。”在接受《科学时报》记者采访时，丘成桐说。而汉密尔顿，则给出了如下的评价:“曹怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼与前人的工作基础上，给出了关于庞加莱猜想证明的一个完整与详细的描述。我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这篇文章。他们引入了自己的新思想，使得证明变得更容易理解。” 的确，竞争是激烈的。就在《亚洲数学杂志》6月号出版前的5月25日，密歇根大学的布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleine)和约翰·洛特(John Lott)，把名为“佩雷尔曼论文注记”(Notes on Perelman's Papers)的192页文章放到了arXiv网站上。这是对他们2004年关于佩雷尔曼部分工作的注记的修改和补充。 比这再早一些时间，2004年9月，田刚和哥伦比亚大学的拓扑学家约翰·摩根(John Morgan)决定合作，在田刚之前给学生开讨论班研读佩雷尔曼论文时留下的笔记的基础上，撰写一部关于庞加莱猜想的书。这部书稿，得到了克雷数学研究所的著述专项资助(Book Fellow)。2006年5月，摩根和田刚合作完成的书稿提交给了克雷数学研究所，并在7月25日把这本473页的书放到了arXiv网站上。而此时，国际数学家大会已确定，将由摩根在8月24日作一个关于庞加莱猜想的公众报告。 3个小组，3驾马车，彼此的差异在哪里？在接受本刊记者采访时，摩根说:“2004年8、9月间，我和克莱纳、洛特以及田刚和其他一些人共同参加了一次学术会议。我们研读了佩雷尔曼的第二篇文章。这之后，我认为，我们彼此都觉得佩雷尔曼了解问题所在。我和田刚对庞加莱猜想感兴趣，并且给出了我们认为的完整的证明，而克莱纳和洛特、曹怀东和朱熹平的文章，关心的是整个几何化猜想的问题，并把问题的范围缩小到Shioya-Yamaguchi的工作的范围内。而这项工作，反过来要借助佩雷尔曼自1990年以来未发表的文章。我的感觉是，在最后几步中所引用的数据，可能需要进行更彻底细致的检查。”不过，在克雷研究所所长卡尔森的眼中，事情，也许并没有那么复杂。“克莱纳和洛特，曹怀东和朱熹平，摩根和田刚，3个小组中的每一个都对检验佩雷尔曼的工作做出了重要的贡献。能够有3个独立的数学家小组来做这件事，当然比只有一个小组要好得多了。” 而且，所有的竞争，仿佛只是让佩雷尔曼最终获得菲尔茨奖的成算，变得更大。 如果一切如普遍的预料，那么，在数学论文日益冗长繁复的今日，佩雷尔曼将创下一个新的纪录:可能为他赢来数学家最高荣誉的两篇网上论文，分别只有22页和39页。 “大张旗鼓地面对一个众人皆知的难题，将会冒很大的风险。”1982年的菲尔茨奖得主阿兰·孔曾经在一篇论文的序言中如此写道，“以后人们记住他的将是他的失败，而不是别的。随着年龄的增大，我认识到‘安全地’到达生命的终点是一种很好的自我保护的选择。”对于在过去20年的时间里一直致力于攀登数学世界里的珠穆朗玛峰——黎曼猜想——的阿兰·孔来说，这段话，更像是一段幽默的自嘲。庞加莱猜想的故事，也许会在几个星期、几个月或者几年内迎来一个圆满的——或许也是出人意料的——结局，但它所开拓的疆域，和数学世界广袤无垠充满挑战与乐趣的地平线，还将无穷无尽的向远方延伸。 故事，永远在继续……- April 10 Kontsevich的工作（ZZ）Kontsevich的工作（ZZ）谈1998年菲尔兹奖获奖者Kontsevich的工作 Kontsevich能拿下Fields奖，当然不是闹着玩的。 Maxim Kontsevich,1964年出生，16岁时获数学竞赛全苏联第二名，85年从Moscow 1985-1990是苏联政治文化大动荡的时期，许多苏联科学家离开了苏联，包括 （一）Max-Plank研究所，一生的转折点 1990年德国波恩大学Max-Plank数学研究所邀请他访问3个月，就在他准备回莫斯科 [1]Intersection theory on the moduli spaces of curves， [2]Intersection theory on the moduli spaces of curves and the matrix 1992年Bonn大学授予Kontsevich博士学位。在Max-Plank研究所期间Kontsevich还 Kontsevich的数学天赋展露无遗，下面这片文章引入了著名的Kontsevich积分， [3]”Vassiliev’s Knot Invariants.” （二）关于Gromov-Witten不变量 1993年的时候阮勇斌和田刚合作发表了一篇重量级的文章 [4]Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry Kontsevich和Manin推广了Ruan和Tian的工作，并且给出了GW不变量的全新解释， 其实Kontsevich等人的文章还是很推崇Ruan和Tian的工作的。也看到过有人用 GW不变量有很多问题现在还是研究热点，特别是C.Taubes的工作 （三）同调镜象对称，离菲尔兹奖一步之遥 Kontsevich最重要的工作之一同调镜象对称是在1993年作出来的，Kontsevich那时 镜象对称是弦论研究里发现的关于3维Calabi-Yau流形的对偶关系，物理学家用 Kontsevich的以下两篇文章是巨大的贡献。 [5]Enumeraion of rational curves via torus actions, preprint,1994 [6]Homological algebra of mirror symmetry 他给出了几个射影流形上曲线条数的公式，用计算机验证的结果和物理上预测的结果 Kontsevich在1994年苏黎世数学家大会上做一小时报告，内容就是上面的文章[6]。 （四）远赴巴黎，终获桂冠 Kontsevich的弟弟是美国San Francisco的计算机视觉专家，Kontsevich本来已经打算 Kontsevich在巴黎期间继续有好的工作问世，代表作是 [7]Lyapunov exponents and Hodge structures [8]Dexxxxation quantization of Poisson manifolds [9]Operads and Motives in Dexxxxation Quantization [10]with Y.SOIBELMAN 和一些大家一样，Kontsevich的一些文章只有预印本，但这并没有太大的影响，网上 比如那个Voevodsky在1996年证明Milnor猜测的文章至今未发表 还有L.Lafforgue的弟弟V.lafforgue证明Baum-Connes猜测的文章也没有发表 他们可能是想把文章做的完善一点再投吧。 终于在1998年的国际数学家大会上，Kontsevich和剑桥大学的Borcherds,Gowers， 在ICM上为Kontsevich的工作做介绍的，正是C.Taubes。 March 11 Thurston 与低维拓扑 (一)标题: Thurston 与低维拓扑 (一) 这个周末美国拓扑学界的一大盛事就是不世出的天才 William Thurston 60 大寿, 各位大佬和 Thurston 学派的主要人物齐聚于科学圣地普林斯顿, 回顾过去, 展望将来.近两年来由于丘老先生的热心, 使 Thurston 的大名越洋远波, 不少国人因而得知 Thurston 的主要贡献在于蕴涵 "Poincare 猜想" 在内的 "几何化猜想". 大会上的讨论显示, 几何化猜想被俄罗斯野人 Perelman 攻克已成公论. 想起代数几何学家 Griffiths 在他的<代数曲线>前言中说, Riemann-Roch 定理不应该是代数曲线理论的终结, 而是真正的开始. 我们现在也可以说, "几何化" 不是三维流形理论的终结, 而是一个新的开始, 我们现在解开束缚, 可以完全自由地讨论三维流形的分类问题了. 与我以前听到的相反, Thurston 似乎并没有对 "几何化猜想" 不在他所设计的步骤下被证明这件事感到不快. 而我这次亲眼看到他之后, 觉得他比传说中要和蔼可亲多了, 几乎肯定比传说中的 Grothendieck 更贴近正常人. 漫谈 Calabi-Yau 流形标题: 漫谈 Calabi-Yau 流形 On String Theory and SUSY标题: On String Theory and SUSY Ricci 流， Einstein 流形与重正化群方程标题: Ricci 流， Einstein 流形与重正化群方程 March 05 Ed WittenWitten本科在Brandeis University学历史学 毕业后为George McGovern竞选总统效力 曾在《国家》和《新共和》上撰文 后来到Princeton读研究生 以惊人的天赋和努力很快拿到学位 28岁就当上了正教授 90年拿到菲尔兹奖...... 主要贡献包括广义相对论的正能定理证明 超对称和莫尔斯理论 拓扑量子场论 超弦紧化 镜像对称 超对称规范场论 和对M理论存在性的猜想......
弦论的诞生 (Ed Witten)
一九八四年十一月十二日星期一，普大人争先恐后的挤进演讲听，只为证实一个传闻，据说一个万有理论(the theory of everything)，宇宙的新理论，可能已经诞生了。
人们议论纷纷，再过不久，Witten就要发表一年一度的Marston Morse纪念演讲。那天听众席上坐著许多位数学家，因为这场演讲是高研院(the Institute for Advanced Study) 数学系主办的，不过全普林斯顿的粒子物理学家似乎也都不约而同地来此报到，另外还有一些天文学家也在场。反正座无虚席，科学界的精英齐聚一堂，大约两百人左右。他们都睁大了眼睛想看清楚，主讲人所讲的是否真的是他们所想要的终极理论，因为光从题目--Index theorems and superstrings，实在看不出个所以然。
Witten一上台，立刻切入主题，因为时间有限，内容紧凑，有些东西他又不想一笔带过，所以说话的速度很快，加上他独特的高频音调，声音也不大，听众必须集中精神才不会有遗珠之憾。方程式一条又一条不停的写在黑板上，他一刻也不停的讲解，如同一首精采绝轮的交响曲，方程式如歌行板地从Witten口中说出。 Witten紧凑的讲了一个小时，嘎然而止，如同交响曲的最后休止，然后说--这就是宇宙的新理论。
听众一片死寂，好像受到过度惊吓，一个个都变成了石膏像般。接著主持人问大家有没有什麼问题……。没有什麼人吭声，好像这些在坐的伟大头脑刚被大海淹没，现在还惊魂未定，Witten的演讲中好像有些熟悉名词，如： 「张量」(tensor)、「左手费米子」(left-handed fermion)、「杨-密尔斯规范群」(Yang-Mills gauge groups)，就像浮光掠影般画过。
介绍超弦理论至少应该办五十场演讲才比较适当，一次就想交代清楚是不可能的，」Witten会后表示「所以，很自然的，我只能挑重点讲。」 物理学家都认为witten是数学家 但数学家都认为witten是物理学家...... Atiyah曾经这样评价witten:
“虽然他肯定是物理学家，不过他对数学的掌握很少数学家能比得上……他一次又一次超越了数学界，以巧妙的物理直觉导出新颖深刻的数学定理……他对现代数学影响巨大……凭着他物理再次成为数学的丰富灵感和直觉源头。” 为什么说Witten是神不是人
早就听说Witten是神不是人,可是刚见到Witten的时候,看他那副鬼样子,说起话来尖声尖气,我实在想不通这怎么可能是个神,后来读了他的文章,佩服之余才感慨,真是名不虚传! Witten在物理上的贡献已是众所周知,我就不多说了,下面来谈谈他的数学工作:
1.Witten一眼就看穿了所谓的Atiyah-Singer指标定理其实是道路空间上的一个简单积分公式;
2.Witten一眼就看穿了Morse理论有更精细的结构,和谱理论有联系;
3.Witten一眼就看穿了老丘的正质量定理可用Spinor来简单证明;
4.Witten一眼就看穿了Kac-Moody代数的特征都是模形式;
5.Witten一眼就看穿了Donaldson理论和Floer有关;
6.Witten一眼就看穿了Jones的不变量其实是更广泛的3维不变量;
7.Witten一眼就看穿了曲线模空间上的相交数来自于KDV方程的解;
8.Witten一眼就看穿了所谓的Donaldson理论其实是trivial的;
还有很多很多,就不一一列举了
以下是Witten的同事和朋友们对他的评价:
1.IAS的教授Seiberg说:"和Witten比,我只配去开卡车";
2.Caltech教授John Schwarz说:"和Witten比,我只配去蹬三轮";
3.Columbia教授Green说:"和Witten比,我只配去马戏团工作";
4.著名网友牛相伯说:"和Witten比,我老牛只配回田里耕地";
等等等等,还有很多,就不多说了
最后建议Witten把这些评价都收集起来,放在自己的网页上明示天下,以跟上时代潮流 January 15 “我的回忆”---年仅九岁的陶哲轩的一次公开演 讲转自：http://liuxiaochuan.wordpress.com
陶教授的父亲陶象国先生在我的博客上留了言。这件事我真的是又高兴又惊讶。我受到了莫大的鼓励，很愿意多想想相关教育的问题。 我 发现一件事情十分的遗憾：当我搜索中文“陶哲轩”的时候，头条基本上都是他如何如何天才，得了什么什么荣誉，而真正深入的内容却一概没有。甚至他如何成长 的材料也非常少，只有那么几篇文章，大多数抄来抄去。而当我搜索“Terence Tao”的时候，排在前面的除了他本人的主页和博客，还可以看到很多他做得工作的详细的介绍。当然，其中一部分的原因是，陶的这些工作多是写成英文的。但 是，我们中文材料的匮乏，部分的因素还是大家浅尝辄止的态度。很多人习惯对什么事情都听个热闹，总是说，哦，那是天才，跟我没有关系。但是这里面有很多经 验都是很普遍的！其实，陶哲轩的成长本身就应当引发更多的讨论。中国家长很多的错误观念至今仍是主流的观念。为什么正确的经验已经被创造，大家却不愿意去 听。我今后会尽我所能做些事情，多写些自己的思考，多翻译些与陶相关的文章，而且，在更重要的，我希望能有更多的人加入到讨论中来。 我 前面的帖子写了一些自己的关于自学的经验，我猜，我的一些话让陶象国先生想到了童年时代的陶哲轩。他给我留了一篇文章，是陶哲轩年仅九岁时候的一次公开演 讲。整篇文章还透着稚气，但已然掩饰不住他的天赋。我把这个9岁大的孩子跟这位优秀的大数学家联系在一起，感到十分的有趣。 我把整篇文章翻译过来，贴在下面。相关有一篇1985年的文章，Radical Acceleration in Australia: Terence Tao，感谢谢陶先生给我提供的链接。 “我的回忆” (这篇短文写于1985年，作者是陶哲轩。本文来源于当年陶给一些大学生和教育工作者们的一次公开演讲。本次活动是由Purdue大学数学教育学教授Prof Grayson Wheatley所发起。) Grayson Wheatley 教授让我谈谈自己的一些对童年的回忆以及一些我自己的经历. 我没有很多令人激动的故事可讲，而且爸爸一会儿要从他的方面谈谈我. 尽管如此，的确有很多的记忆对我非常珍贵，其中一些讲起来有点不好意思，另一些很有趣，而大多数的记忆对我都是很有益的。我觉得还是我自己来讲更好一些。 几 年前，我第一次坐下来做一个洲际的数学竞赛. 尽管时间限制有两个小时之多，我仅仅在20分钟就完成了。剩下的时间，我试图设计一种办法来计算pi(π)的值. 后来，妈妈发现我做了什么，就问我为什么不多花点时间检查检查。我说，“我在等着得到奖励呢”。 显然，我没有什么奖励可拿，而且为这件事我还郁闷了一段时间，再后来，爸爸发现我的错误答案多是由于计算的“马虎”。从这个事上，我学到了教训，在考试的 时候我应该好好计算一下时间，还应该好好的检查，可是一直到现在，我后边这点依然做得不好。 最吓人的一次经历是在三年前，我在伦敦地铁站 走失了。那时妈妈和我正等一辆地铁。一辆车开过来，我一下子就跳了上去。结果妈妈正在检查路线是不是正确，没 看见我。我使劲喊妈妈快点上来，可是车门关了，来不及了。妈妈对我喊些什么我却全然听不到。幸而，一位善良的阿姨坐在我的旁边。她告诉我说，妈妈想让我在 下一站就下车然后在那等着她。这位好心的阿姨甚至亲自带我下了车，还去找了站长，我非常感谢她。可是还是很害怕，浑身发抖，不敢说话，直到妈妈找到了我。 我的教训是：不能在陌生的地方跑来跑去的，而且要“跨步前，先看路”。到今天，我仍然偶尔会做恶梦，想起伦敦地铁站的这件事儿。 有几年我一直由一个咬圆珠笔头的坏习惯。我记得最严重的一次，仅仅一个下午的时间，我就把一支圆珠笔咬掉了一半的长度。于是，妈妈给我买了一个橡胶做得狗骨头让我咬。那味道实在是太难受了，从那以后我咬笔的习惯也就改掉了。 我 发现当我教我的某个弟弟的一些东西的时候，我自己学到的更多，也更容易记得住。于是我就教一个弟弟数学，教另一个弟弟音乐。我的音乐其实也不好，在我教 弟弟之前，我一直挺讨厌音乐的。现在我却很喜欢和他一起来个二重奏。我总是在业余的时间努力的研究一种有意思的方法来教他们。我觉得在这个过程中，我学到 的东西比他们从我身上学到的东西多。 也有一个例外，我曾经在两年前教一个弟弟学下象棋，可是现在他很容易就能赢我了。 我有时也会发脾 气，甚至会泪如雨下。有时候当我做不出来一个题，我就会生气地把笔扔在一边，把纸撕碎了，跑到床上生闷气。我可能很长时间不大说话，然后无缘无顾地对弟弟 们大喊大叫的。爸爸如果在身边，他会给我讲个笑话什么的，让我高兴起来。如果妈妈不忙了，她可能会来帮我解决这个问题。有時候我会再回去试试做那个问题， 却发现答案根本没有那么难。我还会在生气的时候在蹦床上跳上跳下的，效果很好。学习之后跟弟弟玩一会也是特别好的放松方法。我想，如果没有弟弟们，我一定会觉得很孤独。 有人说我有过目不忘的记忆力，但是我却沒有這么肯定。我常常丢三落四的。当我上小学的时候，我总是丢掉我的水壶啊，午餐盒 啊什么的。我还丢过一件全新的汗衫，结果学校给我找一件旧的，有点大，第二年穿还挺合适的。刚上高中，我又把一本图书馆的书丢了，书名叫“无穷尽处的孩子 们” 。我丢过无数枝铅笔，圆珠笔，还丢过一个计算器。 甚至有一天，我把班里一个女孩的书包错拿回了家。我小学毕业的时候，校长跟我谈天，他还对我的坏记性开玩笑。他给我看他写的一页日记，到今天我一直留着一 份，因为我很喜欢读这几句话。上面写道： ……Terry过去常常刚从其他的几位老师那里学了阅读和拼写的课程之后，就跑过来上数学课。他在一个个教室之间跑来跑去的，经常在每处都落下点什么东西。一天他跑过来，两手空空的。 这回可是丢了不少。这孩子几乎要哭出来了：“我什么东西都找不着！” 有多少东西我搞不清在哪里，这个问题恐怕我是搞不清了。 但是我却在学校的操场上发现过几次零钱。我算了算，这样差不多攒了一美元。唉，那也不够补偿我丢的东西啊！ 有时候我把衣服前后或者里外的穿反。我其实不那么在乎，比如毛衣，毛线的那一面穿在里边反而暖和一些。可是有时候我还会一只脚穿着袜子，另一只脚光着，这回我可找不到借口了。今天我看起来还不错，那是因为出门前妈妈帮我整理了。 高 中的第一年我遇到了一个特别好的老师，她教我“普通常识”的课程（陶先生注：这是澳洲一般中学低班(中一年级)的课程, 什么都学, 一般內容都很活泼 (innovative), 不是死板. 至于教得好不好, 就要看老师的材料了）。 她建议我写日记，并把自己的一些主意记下来。 有几次我抱怨生活不容易：我总得从一个教室到另一个教室跑来跑去，人们总是期待我知道这个知道那个。甚至我的弟弟还在我的东西上乱涂乱画。她跟我说，澳大 利亚的请前总统Malcolm Fraser先生曾经说过，“人生原本不易” 。她教导我，人们都会在生活的某些方面获得某种成功，但更多的却是被困恼和失败的情绪围绕。但是，我们应当多想些乐观的方面，把那些挫折看做是给自己上了 一课。它们会给我们对未来增添些希望。这些就是我从那无数长者身上学的东西。也许我被一些老师们评价为聪明的孩子，可是我想要像在座的每一位一样的有智 慧， 还有好长的路要走。谢谢。 （感谢陶象国先生帮我仔细的检查了好多遍，才使文章翻译的令人满意。） On time management by Terry Tao
中文翻译转自http://liuxiaochuan.wordpress.com（原文：On time management by Terry Tao） 受到一些评论的鼓励，我最终决定在这里写一些关于如何安排时间的建议。其实，我有这个打算已经一段时间了，可是就我自己的情况而言，这方面也还在做着探索（读者应该看看我等着写的论文排了多少！）而且很多想法未必成熟。（已经有一些经验写在advice on writing papers,比如page on rapid prototyping）而且，我的一些个人经验恐怕也不能对所有人通通适用，因为每个人都有不同的性格类型以及工作状态。欢迎大家把自己的想法啊，经验啊，或者建议在评论中写出来。（其实，即使我自己的经验，我有时候也不能严格的遵照，挺遗憾的。） 这些经验并不系统，我慢慢的叙述如下。首先，我足够的幸运，自己的很多优秀的合作者都在我们合作的工作中付出了大量的心血。比如最近我的博客大家看到的论文，很多都在很大的程度上是我的合作者们辛勤劳作的成果。一般来讲，我觉得几个人合作的时候，虽然常常要花费的时间要多一些，但是每个人实际花费的力气却令人吃惊的少，而文章的质量却更高。我发现自己可以同时与很多人在不同的工作中合作（因为常常他们为主，或者该工作实际上在等待进一步发展。）可是在我独自写论文的时候，我却只能同时只做一件工作。 由于一些学院时间的规定，在夏季很多的工作要做结，数量要比其他任何时候都多。这些工作都已经经历了相当长一段时间了（比如，很快就要有一篇文章完成了。在这篇文章上，我们已经花费了三到四年；从2000年开始，我在关于波映射的全局正则问题（the global regularity problem for wave maps problem）上已经时断时续的花费了8年之久了。）所以说，当一篇论文一个星期就出现，这可不是说，从怀有这个论文的想法，到真正写出来，仅仅花费了一个星期。其实往往整个漫长过程多是不被世人所知的。 另外，我解决严肃数学问题的能力常常上下变化，甚至每天都有区别。有时候我可以在一个问题上连续想一个小时之久；而有时我更适合去把我和合作者们的草稿式的想法给具体到细节的写出来；另外一些时候，我觉得自己只能收收邮件，改改错误，甚至打个盹，散散步。我觉得非常重要的一点就是，我应该根据自己的状态变化来调整自己的工作安排。如果我有一整个下午的时间，同时又有很好的状态，我可能就会关掉办公室的门，关掉网络，静下心来写这篇苦思已久的论文；而状态不行的时候呢，我就看看这一周的e-mail，投几篇篇论文，写写blog。总之我要做些跟精力的热情的高低很相配的工作。做数学够幸运的一点就是，你可以把大部分的工作在时间上做非常自由的调整（但是讲课是一个非常重要的例外，我们必须围绕讲课的固定时间来做安排）。能够准确的判断自己在某个时段的工作能力以及对接下来的时间（比如这一天剩下的时间）做估计是很有帮助的。无论是太过自信，还是太不自信，在选择具体的工作内容的时候都会带来低效的后果。（我在这两方面可以说都有反面的经验。） 类似的。我有时会有一大堆事情，在长度，复杂度，困难度都非常不同。这一堆问题写在我的“要做”清单之中，如果其中有某个需要很细致的思考的话，我会完全排除掉其他干扰，只将注意力放在这一个问题之上，其他的能拖后的拖后，能放弃的放弃掉；我只有在各项工作都不会耗费我很多时间的情况下，才会同时在各个方面工作。（而且，我还在这些工作中都没有什么灵感。）常常发生的情况是，这些任务要比我预想的难，需要更多的精力，时间或者是耐心才能够完成。这时侯，你就必须要找到一个合适的“休息点”（比如，证明一篇论文中的关键命题；写下讨论中的一个想法，写出来黑板上的某个灵感，或者把一个论文草稿具体完成到细节。）使得这件工作可以放下来不想一段时间，等到回来的时候依然能够很舒服从断开的地方直接继续原来的工作。应当避免在一件工作完成一半的时候就停下来，没有找到合适的“休息点”。结果要么这件工作半途而废，要么留在脑袋中不能彻底忘掉，以至于影响其他的工作，而当你把这个问题捡起来的时候，常常要从前面的什么地方重新开始思考，浪费了时间。但是也无必要拿到一个任务就一次完全的完成，只要找到合适的暂停的地方就好。举一个俗气一些的例子：我在写信的时候（一般都是我工作状态较差，不能去做严肃的数学问题的时候），我会写完并打印好，装到信封之中，然后就把它们放在固定的地方，而一般不会马上就邮寄出去（包括很多类似的东西都放在一起）。直到我“固定的地方”堆满了文件，而我有没有什么其他事情好做的时候，我会统一的把他们一起处理。 现代文字处理的优点就是，任何时候都可以间断下来，将草稿保存。又很容易找个时间继续。这个blog就是这样。我非常惊叹于在计算机时代之前的那些数学家们，他们居然能够写出如此高质量的论文甚至是厚厚的一本书。而我即使有秘书的帮助，也会觉得这件事相当的困难。 跟所谓的“休息点”的寻找相关的一点就是要会把又大又长的任务给切碎，让他们变成若干的小问题，而且每个问题又能够有很好的独立性以及自洽性。最好不过的就是每个小问题都能有他自己的意义。举一个例子就是，我是完全不大可能一次性完整的写出关于庞加莱猜想的证明，而当我把它们分成了19个部分之后，这些部分都相对可以很好的处理，而且又能够有其独立存在的价值。（而且，我还发现，把自己逼到悬崖边上也常常很有效。我提前宣布要讲庞加莱猜想的证明，这给我带来很多动力，不至于半途而废。） （译者注： lectures on the Poincaré conjecture 是陶教授今年的一门博士课程，课程参考著名的Perelman的三篇论文，田刚的500页的书，以及朱熹平，曹怀东的300页的论文为教材。由于课程非常艰深，因此上课的具体要求十分简单，只要坚持听课就好，没有任何的作业或者考试要求。这门课的主页以及所有讲义在陶教授的博客上可以看到，链接在这里。） 有时候应当花费大段的时间来学习某种技术，因为这些技术将会在未来不断的被使用。这其中一个好的例子就是数学中的latex编辑软件。如果你打算写很多的论文，那么就应该花费些时间仔细研究一下这个软件，给自己将来带来方便。好好的学习一下譬如怎么画图怎么做表等等。近来，我试图利用宏定义的方法将标准的latex码（如\begin{theorem} … \end{theorem} \begin{proof} … \end{proof}等等）简化，节约了击键次数。每次的时间节约当然很少，但是累计起来，效果就会不同。而且，在工作的时候如果有效率很高的感觉，人也会精神抖擞，士气高涨。（写长论文的时候就能有体会。） 而在另外的一些情况下，却反而可以对一些任务进行推迟，延误，甚至放下去做些其他的工作。并不是所有的事情都同样的重要。面对一个给定的任务，如果一个人等到自己的技能更强悍，或者是发生了某件事情使得这个任务变得不再那么重要，那么这个工作显然就变得简单了。比如，我目前关于波映射的论文（ papers on wave maps）被延误了好些年，主要是因为我自己没能坚持。然而回想起来，我看到把论文放在那一段时间也有不错的方面。当初我计划中的方法在技术上简直是个噩梦。真的很有必要等待合适的工具出现，等待对这个领域的理解的加深，然后在对问题有更深刻更有效的处理。 [也许这篇文章本身就是一个很好的例子。在我的博客中，还有很多的文章草稿我觉得还不成熟，至少现在还不是露面的时候。它们还在等待进一步的修改。并不是所有的想法或者话题都能够顺利完成，变成一个有意义的结果，参考我的另一篇“利用垃圾箱”。（use the wastebasket）] 我的最后一个建议就是要制定一个计划之后要尽最大努力坚持下去，一个不能全心投入的计划还不如干脆没有计划。我的计划包括我自己的PDA和笔记本，我的e-mail同步。我的各种计划和办公室中其他的设计好的东西保持一致。我还有一个“保留的”黑板，上面写得东西也许只有我自己能完全明白。我并不想很详细的在这里把这些写的很详细。总之，我已经很习惯于我的这些计划，而且到目前为止一切都非常好(尽管我可不希望有人把我的黑板擦干净！).选择怎样的计划显然是一个非常隐私的事情，我当然也不大可能对每个人给出最好的建议，只能讲讲自己正在实施的方法.我认为这些方法给我赢得了很多的时间;我不用花费精力去考虑自己在周二下午3点钟该做些什么；为了目的A，B，C，在X，Y，Z方面都需要做些什么也不用再操心，这样我可以投入更多的精力于理解数学本身，抑或证明一个有难度的命题，或者什么其他的的工作. [I我还发现，当划掉计划中的任务时所带来的心理上的舒适感也会带来动力，不然，有些工作可能会由于没有兴致而最终搁置。] 哦，最后还有一条：有时又需要及时放弃自己的规则而容许有效地调整。比如说，当我在午饭时（随便抓些东西吃吃）为下午的工作做计划时,有时会被同事或某个访问者所打断，结果要出去吃饭。结果常常发生的情况是，在这顿饭上我得到的比在办公室中更多更好（在数学上或者在其他方面），尽管不是按我事先所预料的方式。而且这个过程常常更令人愉快 (有时候，脱离会议讲座甚至脱离会议本身去做自己的论文也会有相同效果) On time management7 August, 2008 in non-technical, opinion | Tags: time management | by Terence Tao Prodded by several comments, I have finally decided to write up some my thoughts on time management here. I actually have been drafting something about this subject for a while, but I soon realised that my own experience with time management is still very much a work in progress (you should see my backlog of papers that need writing up) and I don’t yet have a coherent or definitive philosophy on this topic (other than my advice on writing papers, for instance my page on rapid prototyping). Also, I can only talk about my own personal experiences, which probably do not generalise to all personality types or work situations, though perhaps readers may wish to contribute their own thoughts, experiences, or suggestions in the comments here. [I should also add that I don't always follow my own advice on these matters, often to my own regret.] I can maybe make some unorganised comments, though. Firstly, I am very lucky to have some excellent collaborators who put a lot of effort into our joint papers; many of the papers appearing recently on this blog, for instance, were to a large extent handled by co-authors. Generally, I find that papers written in collaboration take longer than singly-authored papers, but the net effort expended per author is significantly less (and the quality of writing higher). Also, I find that I can work on many joint papers in parallel (since the ball is often in another co-author’s court, or is pending some other development), but only on one single-authored paper at a time. [For reasons having to do with the academic calendar, many more of these papers get finished during the summer than any other time of year, but many of these projects have actually been gestating for quite some time. (There should be a joint paper appearing shortly which we have been working on for about three or four years, for instance; and I have been thinking about the global regularity problem for wave maps problem on and off (mostly off) since about 2000.) So a paper being released every week does not actually correspond to a week being the time needed to conceive and then write up a paper; there is in fact quite a long pipeline of development which mostly happens out of public view.]
Another thing is that my ability to do any serious mathematics fluctuates greatly from day to day; sometimes I can think hard on a problem for an hour, other times I feel ready to type up the full details of a sketch that I or my coauthors already wrote, and other times I only feel qualified to respond to email and do errands, or just to take a walk or even a nap. I find it very helpful to organise my time to match this fluctuation: for instance, if I have a free afternoon, and feel inspired to do so, I might close my office door, shut off the internet, and begin typing on a languishing paper; or if not, I go and work on a week’s worth of email, referee a paper, write a blog article, or whatever else seems suited to my current levels of energy and enthusiasm. It is fortunate in mathematics that a large fraction of one’s work (with the notable exception of teaching, which one then has to build one’s schedule around) can be flexibly moved from one time slot to another in this manner. [A corollary to this is that one should deal with tasks before they become so urgent that they have to be done immediately, thus disrupting one's time flexibility.] It helps a lot here to be able to honestly and accurately evaluate your work potential (a function of your location, your current level of motivation and energy, your upcoming duties and commitments, availability of resources, and the expected level of distraction) for a given period of time into the future (e.g. the rest of the day): being either overconfident or underconfident about what you can achieve leads to taking on either more or less than you can properly handle, both of which lead to inefficiencies (I have learned both sides of this from direct experience). While I have a large number of things on my “to do” list, at various levels of complexity, difficulty, and length, when it comes to any task requiring dedicated thought, I try to focus on it exclusively, postponing or shutting out everything else; I find that multitasking only works for me when none of the tasks requires more than a fraction of my attention (in particular, it seems to work best when I am not inspired to do any one particular task). Quite often, these tasks take longer to complete than I have the energy, time, or patience for, in which case one has to find a natural break point (e.g. proving a key lemma in a paper that one is writing up, or writing down a full sketch of some idea that just came up in conversation or on the blackboard or scratch paper) where one can safely set the task aside and forget about it for a while, and be able to resume later without losing one’s place. The thing to avoid is to drop a task when it is only partially finished, without any good “closure”; it then either gets lost, or weighs on one’s mind and prevents one from fully thinking about something else, or has to be redone from an earlier point when one picks it up again. But one doesn’t have to finish each task off completely as it comes, as long as it can be picked up later. A mundane example: when I get around to writing physical letters (usually a low priority, when I don’t feel ready to do serious mathematics), I type them, print them out, seal them in an envelope, and then deposit them in my “out” tray, but I generally don’t mail them (or process any other paperwork in my out tray) until it piles up and I have nothing better to do, at which point I go out and deal with all of it at once. [I find that a particularly good time for doing this is when my computer needs to reboot or is somehow not easily usable.] More generally, tasks that require little concentration seem to be best done in batches if possible, while tasks that require a lot of concentration seem to be best done individually, with as few distractions as one can manage. Related to the point about “closure” is the desirability of being able to chop up an extremely long task into smaller, self-contained ones, ideally each with its own immediate “payoff”. To give one example: I doubt I would ever attempt to write (let alone finish) the equivalent of my 19 or so lectures on the Poincaré conjecture if I had decided to write one enormous article or monograph rather than 19 reasonably manageable and self-supporting shorter pieces. (It helped also to “paint myself into a corner” a little bit here by announcing the lectures in advance, and building up some momentum, to stop myself from abandoning the project half-way.) [One very nice thing about modern text editors, including the one on this blog, is that it is very easy to save a draft at some intermediate stage and flesh it out or polish it later, which greatly assists the task of writing long papers by chopping up this task into a sequence of much smaller tasks, as discussed above. I am quite impressed by mathematicians from before the computer era who were able to meticulously write out high-quality papers and even books; even with good secretarial support, I would find this extremely difficult to do myself.] It also makes good sense to invest a serious amount of time and effort into learning any skill that you are likely to use repeatedly in the future. A good example in mathematics is LaTeX: if you plan to write a lot of papers, it makes sense to go beyond the bare minimum of skill needed to jerry-rig whatever you need to write your paper, and go out and seriously learn how to make tables, figures, arrays, etc. Recently I’ve been playing with using prerecorded macros to type out a standard block of LaTeX code (e.g. \begin{theorem} … \end{theorem} \begin{proof} … \end{proof}) in a few keystrokes; the actual time saved per instance is probably minimal, but it presumably adds up over time, and in any event feels like you’re being efficient, which is good for morale (which becomes important when writing a long paper). There are also many situations in which it makes tactical sense to defer, delay, delegate, or procrastinate on any given task, and go work on something else instead in the meantime; not everything is equally important, and also a given task may in fact become much easier (and be completed in a much better way) if one waits for one’s own skills to get stronger, or for other events to happen that reduce the importance or need for the task in the first place. My current papers on wave maps, for instance, have been delayed for years, much to my own personal frustration, but in retrospect I can see that it was actually a good idea to let those papers sit for a while, as the project as I had originally conceived it was a technical nightmare, and it really was necessary to wait for the technology and understanding in the field to improve before being able to tackle it in a relatively civilised manner. [Perhaps this very article on time management is an example of this, also. There are also a number of other draft articles hidden in this blog that I felt were not quite working at the time, and are awaiting some further inspiration to complete. It seems that not every idea or topic for an article necessarily leads to a viable end product; cf. "use the wastebasket".] My final suggestion is to pick some sort of organisational system and make a real effort to stick to it; a half-hearted system is probably worse than no system at all. [A corollary to this is not to try to make an overly ambitious system ab nihilo that one is unlikely to follow faithfully; it is probably better to let such systems evolve over time.] I have my own system involving a PDA synchronised to my laptop, my email account, some in trays, out trays, and other designated spots in my office, and a “reserved” blackboard, that probably only I can understand completely, and I don’t think I can even explain it properly here, but I’m used to it now and it seems to work well enough (though I sure hope nobody ever erases that blackboard!). The choice of system though is presumably a very personal matter and I wouldn’t be able to advise on what would work best for anyone other than myself. But I do find that such systems free up a lot of memory; if I don’t have to worry about what I’m supposed to be doing at 3pm on Tuesday, or what work needs to be done on X, Y, and Z for purposes A, B, and C, I can devote more of my attention to trying to understand a mathematical argument, or proving a tricky lemma, or whatever else I need to work on. [I also find it psychologically satisfying to be able to physically cross off an item from my organisational system, which can be a useful motivation when one feels otherwise uninspired to deal with something.] Oh, and one final disclaimer: sometimes one should abandon one’s own rules and allow for serendipity. There have been many times, for instance, when I had planned to work on something during my lunch hour (grabbing something quick to eat), when I was interrupted by a colleague or visitor to go out to eat. It has often happened that I got a lot more out of that lunch (mathematically or otherwise) than I would have back at the office, though not in the way I would have anticipated. And it was more enjoyable, too. (Similarly with skipping talks at conferences (or skipping conferences altogether) to go work on one’s own papers, etc.) On writingOn writing
Everyone has to develop their own writing style, based on their own strengths and weaknesses, on the subject matter, on the target audience, and sometimes on the target medium. Nevertheless, I do have some general advice on these topics:
I should point out, of course, that my own writing style is not perfect, and I myself don’t always adhere to the above rules, often to my own detriment. If some of these suggestions seem too unsuitable for your particular paper, use common sense. Some further advice on mathematical exposition:
December 14 zz 做数学一定要是天才吗?发信人: Arc (GO ROCKETS GO), 信区: Mathematics 标 题: zz 做数学一定要是天才吗? 发信站: 日月光华 (2008年06月08日23:23:31 星期天), 站内信件 这是一篇关于数学需不要天分的讨论, 翻译的原文地址为这里. 是wordpress.com上内容 , 无赖在墙之外, 故把它转载到这里, 做数学一定要是天才吗?（译自 陶哲轩 博客, 译者 liuxiaochuang） （英文原文：Does one have to be a genius to do maths?） 这个问题的回答是一个大写的：不！为了达到对数学有一个良好的，有意义的贡献的目 的，人们必须要刻苦努力；学好自己的领域，掌握一些 其他领域的知识和工具；多问问 题；多与其他数学工作者交流；要对数学有个宏观的把握。当然，一定水平的才智，耐 心的要求，以及心智上的成熟性是必须的。但 是，数学工作者绝不需要什么神奇的“天 才”的基因，什么天生的洞察能力；不需要什么超自然的能力使自己总有灵感去出人意 料的解决难题。 大众对数学家的形象有一个错误的认识：这些人似乎都使孤单离群的（甚至有一点疯癫 ）天才。他 们不去关注其他同行的工作，不按常规的方式思考。他们总是能够获得无法 解释的灵感（或者经过痛苦的挣扎之后突然获得），然后在所有的专家都一筹莫展的时 候，在某个重大的问题上取得了突破的进展。这样浪漫的形象真够吸引人的，可是至少 在现代数学学科中，这样的人或事是基本没有的。在数学中，我们的确有很多 惊人的结 论，深刻的定理，但是那都是经过几年，几十年，甚至几个世纪的积累，在很多优秀的 或者伟大的数学家的努力之下一点一点得到的。每次从一个层次到另 一个层次的理解加 深的确都很不平凡，有些甚至是非常的出人意料。但尽管如此，这些成就也无不例外的 建立在前人工作的基础之上，并不是全新的。（例如， Wiles 解决费马最后定理的工作 ，或者Perelman 解决庞加莱猜想的工作。） 今天的数学就是这样：一些直觉，大量文献，再加上一点点运气，在大量连续不断的刻 苦的工作中慢慢的积累，缓缓的进展。事实上，我甚至觉得现实中的情 况比前述浪漫的 假说更令我满足，尽管我当年做学生的时候，也曾经以为数学的发展主要是靠少数的天 才和一些神秘的灵感。其实，这种“天才的神话”是有其缺陷 的,因为没有人能够定期 的产生灵感，甚至都不能保证每次产生的这些个灵感的正确性（如果有人宣称能够做到 这些，我建议要持怀疑态度）。相信灵感还会产生一 些问题：一些人会过度的把自己投 入到大问题中；人们本应自己的工作和所用的工具有合理的怀疑，但是上述态度却使某 些人对这种怀疑渐渐丧失；还有一些人在数 学上极端不自信，还有很多很多的问题。 当然了， 如果我们不使用“天才”这样极端的词汇，我们会发现在很多时候，一些数学 家比其他人会反应更快一些，会更有经验，会更有效率，会更仔细 ，甚至更有创造性。 但是，并不是这些所谓的“最好”的数学家才应该做数学。这其实是一种关于绝对优势 和相对优势的很普遍的错误观念。有意义的数学科研的领 域极其广大，决不是一些所谓 的“最好”的数学家能够完成的任务，而且有的时候你所拥有的一些的想法和工具会弥 补一些优秀的数学家的错误，而且这些个优秀的 数学家们也会在某些数学研究过程中暴 露出弱点。只要你受过教育，拥有热情，再加上些许才智，一定会有某个数学的方面会 等着你做出重要的，奠基性的工作。这 些也许不是数学里最光彩照人的地方，但是却是 最健康的部分。往往一些现在看来枯燥无用的领域，在将来会比一些看上去很漂亮的方 向更加有意义。而且，应该先 在一个领域中做一些不那么光彩照人的工作，直到有机会 和能力之时，再去解决那些重大的难题。看看那些伟大的数学家们早期的论文，你就会 明白我的意思了。 有的时候，大量的灵感和才智反而对长期的数学发展有害，试想如果在早期问题解决的 太容易，一个人可能就不会刻苦努力，不会问一些“傻”的问题，不会 尝试去扩展自己 的领域，这样迟早造成灵感的枯竭。而且，如果一个人习惯了不大费时费力的小聪明， 他就不能拥有解决真正困难的大问题所需要耐心，和坚韧的性 格。聪明才智自然重要， 但是如何发展和培养显然更加的重要。 要记着，专业做数学不是一项运动比赛。做数学的目的不是得多少的分数，获得多少个 奖项。做数学其实是为了理解数学，为自己，也为学生和同事，最终要为她的发展和应 用做出贡献。为了这个任务，她真的需要所有人的共同拼搏！ December 06 whu一师兄的感言ZZ我是01数基的，还记得毕业那天aftermath，LQ还送我到站台，LQ，WJ出发之前我们还在北
京见了一面，现在他们都在美国努力读书了吧。很佩服他们能沉住气考完GT，我可没这样 的毅力。 说说我的经历和意见，希望对师弟师妹们或多或少有所帮助。 在我的同学们忙着GT的时候，我还没有想过是否、什么时候出国。但是现在我已经拿到了 offer，我没有考过GT，大概花了两个星期准备申请出国的材料，花了50欧元的申请费。 首先，我希望师弟师妹们对出国要认真考虑，不要跟风不要盲目，要想清楚你的目的是什 么。例如我喜欢数学，博士学位不是我的最终目标，我希望能够欣赏到人类最高智慧的结 晶，还希望能够自己有所创造。然而武大能够拿到的数学（我仅指pure math，不包括app lied math）的offer都不是第一流的数学系，前几年南开的学生拿着陈省身的推荐信可以 去世界上最好的数学系，清华北大科大最优秀的同学能去的也是一流的数学系。我相信自 己的实力不会比清华北大最好的学生相差多远，只是我还没有碰到好的机会。大四时我们 院长也曾经让我考虑让他推荐我去芝加哥，但我还是放弃了这个机会，当时考虑到需要TO EFL成绩，英语确实也不是我擅长的，大四一年对于我来说是关键的，若想要以后学数学这 一年空闲时间应该好好用来打基础，我花了大半年时间把GTM73 Algebra的七八百道习题做 完了，我不愿意把我的时间浪费在考Toefl上，我觉得这样太不值得，如果数学功底不扎实 ，出去了又怎么样，一个人是如此渺小以致于随时被现代数学的大海淹没，并不是没有先 例，也许他们转统计了、转应用数学了、转计算机了，但我知道我不愿意，这些不是我想 要的。当时还考虑到，我们院长是做偏微分方程的，我并不欣赏这个方向，我更喜欢的是 偏向代数思维的方向，我估计院长能推荐的也就是他那个方向的导师，而且我也不知道他的 把握有多大，如果失败可能就要到一些不太强的学校的数学系去了。
所以，我选择了保研，来到了中科院数学所，硕博连读，当然我挑了自己喜欢的方向：代 数数论和算术几何，也挑了最好的导师，挂名在一个哥伦比亚大学的中国教授名下，国内 指导我的老师也是数论方向最好的研究最活跃的导师。来北京的时候我开始打算也许过一 年两年打好了基础也应该出去闯闯。那时巴黎11大的一个老师在清华开了一个学期的模形 式的课程，导师让我去听课和在他的seminar上作报告。那时候我才明白我和清华北大的学 生差了多远，根本不在一个档次，自己估计水平大概相差一年多左右吧，我作的是系列报 告中最简单的第一个，讲稿只有五页纸，别人作第十个最难的报告，讲稿二三十页。一个 学期过去了，报告结束时我觉得我几乎是最糟糕的那一个。课程结束时考试我大概考了第 二（到最后考试的人也就六七个）。但是法国教授依然建议我申请他的项目。那时我知道 清华前两年数学系最优秀的几个学生一直留在清华没有出国，自从去年法国人过来合作他 们都被带去了法国留学，学的当然都是我的方向数论。我也从我的导师那里知道现在的巴 黎11大是数论的世界中心，2002北京国际数学家大会巴黎11大数论、代数几何做45分钟报 告的就有两个，包括来清华上课那位教授，当年的Fields奖得主就在11大拿的博士学位， 今年的数学家大会也将仍然有两个11大的做45分钟报告。这意味着巴黎现在就是我读的方 向的中心。这样的机会对于我来说是太突然了，我跟本没有想过这么快考虑出国，我是完
全没有思想准备的，我的打算是来了北京两年以后再找机会，但是紧紧过了半年就遇上了
这样的机会。我也明白前几年清华最好的学生去了巴黎读数论，十来年后中国数学界数论方向最一
流的学者大概也就那些人之中吧，能有机会在世界数论中心磨练几年的人在中国人中数不 出几个。我当时是很犹豫的，我不知道是不是应该马上申请，因为还有清华北大竞争的同 学，更重要的原因是我当时受到的自信心上的打击是巨大的，自己相比之下也实在太弱了 。以致于我做了一件很愚蠢的事情：法国教授期末考试加了个面试，事实上没有问任何数 学，只是问我愿意申请哪个项目，我当时已经知道他其实是他提的两个项目的负责人，我 却告诉他（同时因为我的英语够烂的，不懂得委婉，于是就直接说）我还没考虑清楚而且 我觉得自己很不自信。（其实后来一想傻极了后悔极了）在犹豫之中还是我导师的坚定改 变了我，他给了我太多的鼓励，他在法国人面前强烈推荐，也同时告诉我法国人对我的评 价不低，自己应该有足够的信心。那时候距离申请截止日期两个星期。还是感谢LQ当初提 醒，他告诉我如果将来有可能会出国最好还是先办好出国成绩单，所以毕业的时候我就准
备了成绩单。然后花了两三天，把我四年对数学理解的积累浓缩成三百单词，再加上对未
来的构想，为什么选择那个项目，用极其粗糙的英语写成我的PS。感谢WJ及时的修改使
得我的英语不出现语法错误。我知道我的英语表达力足够差劲，但我也知道除了我没有别
人能写出这样的PS，里头凝聚的是我对数学的热爱，我对来到这个数学中心学习的渴望，
还有四年来日日夜夜学到的知识，对数学的细致的感悟和理解，这一切是没有人能够模仿的，
独一无二的，我相信我的PS能打动对方。准备好我导师写的推荐信，另一封推荐信由一位法国博士
毕业的武大年轻教授写的，他教过我两门课对我十分了解，他亲笔认真给我写了一封推荐 信。还加上我的成绩单，本科四年我修的所有数学课程仅一门除外全都在90分以上，大部 分是95以上。然后还说明我没有任何申请所要求的GT成绩，但表明我的英语足以日常生活 、听懂英语教学、阅读数学文献和写数学文章（作为证据，我把seminar上的五页英文讲稿 也寄过去了）。于是花了一个星期备齐材料在截止前寄到
，花费50欧元申请费和一百多人民币特快专递。三月初的某天，老板短信告诉我去法国的 事情定了，我冲回宿舍看了邮箱果然收到了offer。是一个两年的硕士项目，欧盟给的奖学 金大约2万欧元一年，方向就是数论与代数几何——我的至爱，第一年在意大利的Padova 大学，一个700年历史的学校，伽利略在那里教了十几年书，第二年法国巴黎11大，心目
中数论的天堂。如果表现好当然能继续拿到资助在那里读博士，这也是我的愿望，同时老
板也消除了我的所有后顾之忧，如果尽力了还是不行就回来读博士吧。虽然是这么说，但
我想我一定不会让我老板失望的，我想我可以做得很好。回想起来也许因为老板一番鼓励
的话改变了我的一生，我也慢慢明白到我和清华北大最好的学生之间确实有差距，但是我
本科四年来已经尽最大努力了，差距不是由自己造成的，也许是由于没有最好的氛围，没
有最一流的老师造成的差别，现在有了最好的机会能到最理想的地方读书，只要能努力我
相信我可以比任何人都优秀。
说说我的建议。一，建议学弟学妹们不要盲目出国，问清自己想要什么，想清楚自己 理想中的是怎么样的生活。有了明确的目标才能在关键的时候作出适合自己的选择。我为 什么没有选择院长推荐的芝加哥的申请，就因为院长能推荐的估计也就是他的研究方向， 而我并不喜欢他那个研究方向。（另外当时不知道芝加哥大学的数学系比我想象中的要强 多了）因此，建议不要盲目，需要多一点理智。 二，建议不要急着出国，要把握最好的时机，相对而言武大能申请到的名校不多，可以考 虑先到清华北大中科院读研，选你喜欢的方向最好的导师，他们手上的机会不会少，而且 这样的机会也许会比你在武大得到的机会好的多，只要是开明的导师为学生前途着想的导 师，有了机会他会推荐你到最一流的地方读书。01数基一位女生提前保研，当年去了香港 中文大学，今年应该硕士毕业了，前段时间收到她的email得知她收到了Princeton（那里 比邻高等研究中心——数学天才的集中营，爱因斯坦，《美丽心灵》的纳什都在那里工作 过）的offer这在武大是无法想象的，即使在清华北大也很少有，站在一个更高的起点上申 请你将会得到更好的offer。另一位01数基的女生现在和我一样在中科院数学所硕博连读， 她老板也是国内年轻人中偏微分方程第一流的，现在被纽约大学的柯朗研究所聘走了（那 里的应用数学是世界第一流的），她老板也说只要她学好就会带她去美国，我祝我的同学 不久的将来也能到那里读书，我也相信她能做到。刚刚也说到清华数学系前两年最好的学 生并没有急着出国，等法国人来了，机会来了，他们都去法国了，而且现在他们的表现法 国人还十分满意。因此，出国不是越快越好，要把握最好的时机。 三，机会属于有准备的人，当最好的机会出现在眼前的时候你要有把握把它拿下，这需要 你有实力，这是你唯一的后盾。如果我的申请失败了我觉得我失败的原因是我的的实力不 如和我竞争的清华北大的同学，的确我在seminar上的报告不如他们出色。现在我申请成功 ，我觉得成功的最大因素还是我的实力，我想法国教授看好我的原因之一是我的基础还是 扎实的，毕竟我在他的课的期末考试中拿了第二，我想我能占优势的还有我对自己专业的 热爱，这在PS中是很容易区分出来的，还有就是我四年来花在理解数学思考数学上的功夫 并不比清华北大的同学少，学的也许没他们多没他们好，但是你的热情可以比他们高，你 对专业的理解也不会比他们肤浅。如果我花了大量时间在我并不擅长的英语上，把青春浪 费在GT上，我想我的数学至少没有现在学得好，同样的申请能不能成功也难说。所以，我 建议把你的专业课学到最好，不仅仅是考试拿个高分好用来申请，而是你真正的弄懂了， 你的实力（而不是分数）到哪种程度根本上决定你申请到什么样的学校。为什么清华北大 科大的学生收到的好的offer比武大强很多？不要把所有的原因归结为武大在外面没有名气 ，他们有很好的出国传统。只要你见到他们最优秀的学生，拿他们和自己比一比你就知道 差距在哪里，你自然明白为什么别人的offer比你强。找原因首先应该从自己身上开刀。因 此，建议学好自己的专业，不要因为英语GT考试耽误了自己实力的提高，申请成败主要看
的永远不是GT，申请确实要求GT成绩但是我跟本就没有，但我申请成功了。只要你足够优
秀，属于你的机会总是会出现的。
四，做好充分的思想准备。这是我的教训，我是幸运的，没有因为那次愚蠢的举动失去这 个宝贵的机会，但显然不是每一次都有这种运气。当你有了充足的实力你就应该做好机会 随时到来的思想准备，不要白白错过机会。 五，说说推荐信。陈省身是世界著名的数学家，南开的学生拿着他的推荐信当然可以 申请到最好的学校。所以要选一个确实有实力的人给你推荐，他要是在那个研究领域里活 跃的，要有好的工作，也许他最好认识你想跟的导师。这样的人去哪找？在中国确实难找 ，名不副实的教授到处都是，但我想要找到在你的方向上一流的总会有的，只在于你愿不 愿意找，怎么让他们帮你写推荐信。我来了北京不仅仅呆在中科院数学所，我还经常到清 华北大上课，见到一流的学者就主动上去和他们聊数学，在他们开的课上表现得尽可能优 秀、积极，只要自己有实力有底气他们自然认识你欣赏你，你请他写推荐信绝对会认真写 不会推脱，这样的推荐信更有说服力。例如前面提到的武大一个法国毕业的年轻教授，教 过我两门课，我保研中科院和出国的推荐信都是他亲笔认真写的，他写道我是他教过的上 百学生中最优秀的三个之中的一个，这样的推荐信对我的申请很有利，而且是有说服力的 ，因为他教过我时间长，对我的学术水平比较了解。至于我导师的推荐信他写好了封了口 没让我看，不知道说我坏话没有，但他在研究上很活跃而且认识项目的负责人，所以推荐 信也会很有力（当然你自己水平差他如实反映也会很有说服力！）牛人写推荐信都这样， 自己动手写，还很可能不给你看到底写了什么，而且他不认识你就不给你写，要么你跟他 聊聊数学让他了解你的实力再说，这样的推荐才是有价值的，那种自己写好随便签个名的，
别人又不是傻子，这样的信收多了一眼就能看出来。我想这是我对有力的推荐信的理解吧。 一口气写完，写了实在好久。来到了北京，看到了差距，曾经失落也不愿意服输，再 重新找回了自信，得到了有点意料之中也有点意想不到的offer，过程的曲折让我学到了一 些以前不懂的道理，感到对得起自己的是一直以来从没有中断过学习那美丽的数学，过了 一年发现自己懂了一些原来从未敢想象的数学。唯一值得一提的是我拿到了满意的offer同 时没有耽误一刻专业的学习，我想也只有这点不一样的东西值得学弟学妹们借鉴。今天第 一次来这个版发文，希望能有人从中获益。 读Chern 有感(zz)读Chern 有感(zz)from繁星客栈 作者: 道德 近日重读 Chern 的几篇文章， 特别是那篇很短的内蕴证明， 觉得对 Chern 怎么褒奖都不会过誉。 现在我从自己的观点承认 Chern 确实很伟大。 这样一个大定理， 竟然可以只用几页给出一个如此简洁的证明， 印证了简单的才是美的， 美的才是好的数学的观点。 December 04 数学是生命快乐的一种方式数学是生命快乐的一种方式
——记数学科学学院十佳教师候选人范后宏老师 几乎每个和范后宏老师交谈过的同学都能感觉到，他对数学的热爱是十分特别的。这种热 爱，总在他的举手投足间不经意地流露出来，就像一团熊熊烈焰，温暖着身旁的每一个人 。在这种激情下，抽象的数学思维变得轻松活泼，高深的数学课程变得妙趣横生。在范老 师看来，数学是人类最高的理性，隐藏在宇宙背后的每一个角落。数学是如此的深刻，如 此的优美，一旦懂得了它，就会感到一种巨大的快乐，一种“令人敬畏的快乐”。——数 学是生命快乐的一种方式。他常常在上课时幽默地说，“非常感谢同学们，因为和你们这 些最聪明的孩子在一起玩数学是多么愉快啊”。 在某些人眼里，数学是用处不大的；在另一些人看来，数学是有用的，但更多的是彼此孤 立难以理解的；还有一些人认为，数学是可以理解的，但又是非常形式抽象的。在芝加哥 大学读书的日子里，范老师从他的导师那里学到了从数学内部的各个分支，比如代数、分 析、拓扑、几何和方程等的相互联系和历史发展来理解数学，来把握数学的要点，来领略 数学的美；从数学与自然科学以及哲学的联系，来体会数学的深。在英特尔公司工作时， 他学到了从数学的外部看数学，体会到了数学应用的广泛性和它无穷的威力，“在关键的 时候起关键性的作用”。无论是在芝加哥大学求学、耶鲁大学任教，还是在英特尔公司工 作，他都深深地体会到，数学教育和数学研究的发展对一个国家一流人才的培养和科技水 平的提高具有基础性的，甚至是关键性的作用。 正是带着这种理念，2002年范老师毅然决定回国任教。在北大的课堂上，他总是那么热情 洋溢，极快的语速中穿插着各种各样的幽默，使每节课的气氛都异常活跃，同学们都被那 种热情感染了，跟随他一起去探求表面晦涩难懂的内容背后最纯真的数学本质。千秋弄竹 ，今古畴人，他让这人类心智的荣耀在不经意间沁入我们的心田。在多年的学习工作中， 范老师博览群书，在他的课上，一个概念、一个定理常常有四五种不同的解释。比如说， 在教复变函数课时，他从古典数学、现代数学以及自然科学等不同角度对“解析函数”的 概念给出了十八个等价的定义，并进行精辟细致的比较。这些，是在寻常的课上见不到的 ，我们难以想象范老师花了多少时间来备课。仅是《复变函数》一门课，给03级、04级和 05级学生主讲了三次，范老师每次都在总结以前的教学经验的基础上，重新备课，教案累 计起来竟有九大本之多。原本薄薄的本子，经过范老师一次次补充和添加附页，厚度和内 容也一起变得更加翔实和饱满。范老师的学习和工作经历涉及多个基础数学和应用数学领 域，深知教学内容在今后工作学习中的重要性。他常常会提醒我们哪些内容将来会用得着 ，他总是说“学计算数学的同学，这些知识你们以后会常用”，“准备搞信息科学的同学 ，你们要注意这部分内容”，…… 这便使得同学们的学习动力更加强烈了。最重要的是 ，范老师尝试着选取最自然、最容易接受的方式教导学生，使数学变得生动而又鲜活。 范老师说过：“我爱好数学，因为数学理性是宇宙的灵魂；我乐于传播数学文化，因为数 学思维的发展是人类自身全面和谐发展的一部分。”而他本身，正是对这句话的最佳注解 。 范后宏老师简介 范后宏，现任北京大学数学科学学院副教授，曾由国家教育部数学“陈省身项目”公派留 学美国， 1994年获得美国芝加哥大学数学专业博士学位。曾在美国耶鲁大学数学系任Gi bbs Instructor, 在美国英特尔公司任 Senior CAD Engineer。2002年回国工作。 所授课程： 主讲过6门本科生课程：《复变函数》，《线性代数B》，《理论计算机科学基础》，《数 字集成电路数学模型I》，《数理逻辑》，《微分流形》。2门研究生课程：《组合最优化 算法》,《同伦论》。 研究方向： 微分拓扑学，代数拓扑学，规范场论，集成电路设计自动化。 科研成果： 在微分拓扑学方面，发现了奇数维微分流形上Half-De Rham 复形，提出了奇数维微分流 形上自对偶上同调理论。对于紧致定向有边界的奇数维微分流形，在相应的自对偶算子 加上边界条件, 计算出了它的指标，并将其运用于向量场拓扑学的研究，获得了奇数维微 分流形上向量场拓扑学的若干新结果。 把四维流形上的Yang-Mills方程和Seiberg-Witt en方程推广到带有线场的五维流形上。 在集成电路设计自动化方面， 为高性能高密度组 合逻辑电路的晶体管布局提出了一种高效率优化算法，成功运用于英特尔公司微处理器标 准单元库的设计中。 所获荣誉： 1989年获美国芝加哥大学数学系The Franz&Gertrude Meyer Prize。2000年获美国英特尔 公司物理验证和物理设计部门 Recognition Award. 2001年获2000/2001年度李氏基金会 杰出成就奖。2006年获北京大学宝洁教师奖。 教学态度： “北京大学数学科学学院每年集中了中国大部分最好的数学学生，他们进校时具有一流 数学素质和潜力。作为一名数学教师，我的岗位责任是努力使我所教的数学课程达到一流 水准，使学生们对数学和数学应用充满激情和好奇心，成为国家未来发展所需要的一流数 学和应用数学人材。” ------------------------------------------------------------------------------ 十佳教师”数院候选人范后宏老师讲座 --------------------------------------------------------------------------- 发信人: SMSSU (数院学生会|相亲相爱一家人), 信区: SMS 学为师范，宏启后生——请支持“十佳教师”评选数院候选人范后宏老师！ ☆他，是一位学识渊博，经历丰富，科研成果卓著的老师； ☆他，更是一位热爱三尺讲台，热爱传道授业解惑的老师； ☆他敬业，同样一门课程教三次会每次换一种教法，重新备课； ☆他低调，从不愿谈那段在国外的辉煌岁月和卓越成就； ☆他热情，和同学们在一起总是相谈甚欢，常常忘记了时间； ☆他睿智，敏捷的思维，幽默的比喻，总让人会心地开怀大笑； ☆他学术，数学是他的挚爱，办公桌前永远摆放着黎曼的画像； ☆他丰富，喜欢信步于燕园，观赏昆曲、京剧，品读季羡林先生的文章； ☆他，对数学充满了热爱，对教学充满了热爱，对生活充满了热爱！ ☆☆ WE ARE THE STUDENTS OF MR. FAN, ☆☆ ☆☆ WE ARE THE FANS OF MR. FAN ! ☆☆ ☆☆☆ 同学们眼中的范后宏老师—— ☆☆☆ ☆☆ 说来也巧，这个暑假以来，常常在各种神奇的地方神奇地碰到范老师，去农园的路上、电 有一次我们一帮人去农园吃饭又碰到范老师，他又是那么热情地招呼我们坐在周围。正在 ☆☆ 我所见过的最出色的老师之一 范老师的教学能够不拘泥于课本，讲出自己的思路和想法，能够用形象的语言为非专业的 嗯，天才级的老师 ☆☆ 从上学期到这学期，范老师一直在主持讨论班，一个半民间的讨论班。因为这个讨论班是 范老师曾半开玩笑地说过，当他离开人世的时候，要我们为他立一块碑，铭文写着：“I November 30 著名数学大师朱熹平教授的经典语录著名数学大师朱熹平教授的经典语录
November 23 品评数院05级几位同学近期在校内的大讨论ZZ品评数院05级几位同学近期在校内的大讨论 声明：我不是牛人，我也压根不喜欢数学，只是觉得有点意思，故而在此狗尾续貂。阅读大家的日志，第一感觉就是，果真文如其人啊，每个人的日志都是其独特个性和思考方式的一种体现。我觉得看大家的日志是一种享受，在此摘取一些佳句稍作品评。
“不用隐瞒大家，我自己已经对自己这种滥竽充数妄图去骗PRINCETON OFFER的行为感到深深的愧疚了，在此向各位师兄师弟及同胞们表示道歉！希望大家既往不咎，给我一个痛定思痛、脱胎换骨的机会哈！”
“当一个人失去精神支柱的时候，他的生活就会变得异常的乏味以致于没有意义了，我想我现在就处于这样迷茫的时刻。”
“我想那不是我力所能及的事，因为我的家庭背景，因为我只是一个饥饿的草民……我当然也知道我们所在的这个社会有诸多不公，因为我就是受害者之一，但是我无力改变任何事。”
“我一向不认为世界所认可的狭隘的民族主义是什么真理，因为这些主义归根结底都是人为认定的，在强权下，所有主义都可以被变为谬误。所以，人类的认识总是会受权力的压制的，所以知识最终总是屈服于权力。”
“在本科时什么弱不弱，强不强，牛不牛，拿什么offer，去不去Priceton之类的牛校真的不重要。关键是要想清楚自己到底想干什么，在现实的环境中能干什么。”
“精神支柱的缺失……解决办法是定下三大目标：1快乐地度过每一天，做自己想做的事，2尽快寻找新的可以真正激发自己动力的事业，3利用这段迷茫期充用各种知识充实自己。”
“适应不意味着没有远大理想，而是理想和现实的一种折衷而已。”
“阿渣（注：傅列）是一个善于‘安排思考’的人。他的‘安排思考’体现在，平日学习生活有条不紊，然而，当这种生活慢慢显露出一些不安定因素（比如发觉数学学习越来越吃力）时，他会安排出一个机会，给予自己充分的时间去系统地思考这个问题，包括其存在性、可探知性、影响力等方面。而经过了严格的逻辑性思考之后，阿渣大脑中所总结出的新思想便会构成一套新的整体，组织严密，环环相扣，并且非常有指导性，成为日后一段时间内的行为准则和价值观准则。”
“数学也能给人一种使命感，如柚子所言：“想自己做的事情要有基本的重要性”，大概是做数学的人共同的骄傲。理想主义者不希望自己被认为只属于虚妄的理想主义。”
“以某位政管同学的豪言（或狂言）结束：北大学子，放眼天下，想干啥干啥！”
“爱迪生说过一句话：‘天才是99%的汗水和1%的灵感，而没有这1%的灵感是万万不行的。’这句话想表达的意思其实是：1%的灵感是最重要的，没有这点灵感，99%的汗水都没有用。但我们这么些年来都只知道前半句，这使得这句话的意思完全不一样了，变成了强调汗水的重要性。”
“嗯，大家不要笑我虚伪哦，天真的小童心的确比较理想主义的。的的确确，到现在我仍坚信如果有真理那么应该lies in math。毕竟数学逻辑那么那么严谨；也是因此我毫不犹豫地进入了数院。”
“我们不需要追求绝对的真理，而应该跟随自己的信仰，但在生活中逐步对其加以调整。没有真理，只有对真理的追逐。极限并不存在，只有极限的过程。”
“作为一个努力求生的生物，我们应勇敢的面对这竞争，改变自己而使自己的理论真的强大，为这个世界带来更多的幸福。” November 09 相约星巴克相约星巴克 附件： 操作: 《中国数学会通讯》2005年第四期 相 约 星 巴 克 友情出场：曹道民，贾朝华，王雪平， 徐飞，张平，赵开明 策 划：本刊编辑部 （暑假是学术交流的高峰时期，几位同事和朋友相约到中关村的一家星巴克咖啡店去聊聊。晚上七点左右，大家陆续来到。） 贾朝华（中科院数学所研究员）：各位，晚上好！大家难得聚在一起，好好聊聊，（对张平）年轻人带个头吧！ 张平（中科院数学所研究员）：好！我们先从研究生教育谈起吧。现在曹道民老师正在组织一个与微分方程相关的中心，把大家整合一下，这样在研究生课程方面就可以好一些。 贾朝华：这些课程和科学院研究生院那边的课程是一体的吗？ 张平：科学院的研究生课程现在开得很低，有关偏微方面稍微现代一点的课程是没有的。 徐飞（中科院数学所研究员）：国内偏微分方程的状况比起代数来还是强多了。你要知道，很多学校连代数的课都开不出来, 很多知名的大学开设的代数课也很弱。我一上课就知道，象Galois理论很多学生根本听不懂。如果近世代数不讲Galois理论，学生很难明白为什么要学习这些抽象的概念。 张平：偏微分方程是我们的传统项目，人很多，但也有一些问题。现在主要是缺少世界顶尖的青年学术领头人。 贾朝华：现在常说要培养战略科学家，但这是件挺不容易的事，要经过很多场合来锻炼。中国发展得这么快，要有一批这样的人。国外来的数学家，比如暑假来交流、指导一下，但事情最终还要靠自己做。 曹道民（中科院应用数学所副所长、研究员）：我们现在争取每个学期至少有一门偏微分方程的课程可供研究生选，大家轮着来，每人两年之内上半年的课，我们做PDE有五、六个人，就可以把我们的课程搞起来。 张平：我们还有一个好处，每年暑假研究院都有很多国外来的知名教授，比如王雪平教授，都可以开课。 贾朝华：如果在国外大师来之前，先讲一些铺垫性的课程，效果会比较好。 徐飞：按说课是能够开得出来的，问题是没人愿意去讲。当然，这是研究院的事。 贾朝华：不能全指望领导，领导也只能考虑些宏观上的事。 徐飞：如果开不开课根本就不是一种责任，大多数情况下，大家偷懒一点就可能选择不开。 贾朝华：实际上，PDE方面开个课，对于他们领域的发展是有好处的。 张平：时间长了，有些基础的东西会忘记的，上上课嘛，总能温故而知新。 赵开明（中科院数学所研究员）：我们李代数中很多基础的东西，几年不看就忘了，如果要讲一讲的话，又都记起来了。 贾朝华：真正解决问题的往往是那些基本的工具。 张平：而且，上课对科学研究来说也并非坏事。国外的那些知名数学家，我没看到有几个是不上课的，数学教育本来就是职业数学的一部分嘛。 曹道民：研究院以前曾经讨论过，希望每个研究人员每两年能给研究生上一个学期的课，可惜后来没能贯彻下去。 赵开明：象我们研究所吧，研究是一部分，大概教学也应该作为一部分，另外再加上服务。一般都是这三部分嘛，比例可以调一调，比如，研究占60-70%，教学占20%，服务占10-20%。 贾朝华：我们有时候不大愿意把精力花在服务方面，比如，很多会议在出会议录方面就做得不够。我看日本对于出会议录相当重视，即使一个不太重要的会议，也要出个叫“讲究录”的东西，不是正式排版的，甚至手写的稿子也收录进去。 张平：不过这里也有一个问题。现在会议太多，如果每个会议都出一个会议录的话，…，今年偏微分方程就至少有五、六个会议，恐怕会有十来个。 贾朝华：目前还不会有十来个会议都出会议录的问题，倒很有可能每个会议都没出。适当地出一些会议录可以扩大学科的影响，也会使更多的人受益。当然，会比较花费时间和精力。 张平：我觉得会议应该整合，没必要开那么多会。 王雪平（法国南特大学教授）：我从外面的角度来看，中科院在研究生培养方面还要加强。中科院本身没有本科生，研究生都是从外面招来的。现在一流的都出国了，好的学校里自己留下了，中科院只能招收那些二流大学的一流学生。可能中科院也要有一点制度。 张平：不过，从今年开始，学生质量比以前好了，因为有免试推荐。但我们还是没有招到一流学校的一流学生。 徐飞：原来不行，考进来的学生质量不是很理想。 张平：我们研究院的博士生每月的奖学金至少有七、八百块钱，而大学里只有三百多块，完全是我们自己没有宣传出去。 王雪平：这一条要用大笔墨写在上头。 贾朝华：如果有招生的信息，我们《通讯》可以考虑刊登，介绍一些专业和老师。现在网站、杂志都有，肯定比你自己去跑产生的影响要大。 张平：我倒有个建议，每期可以集中介绍一个方向。比如，这一期就介绍代数方面的老师，下一期再介绍方程的，等等。 贾朝华：现在有这样的问题，就是具体落实到谁来写。数学会的理事会也常鼓励其成员来写点东西，关于教育、科研方面的，但是，…。 徐飞：你就让作代数的每个人写一点自己的东西，然后，再让人把它综合一下。 张平：偏微分方程的情况就比较简单，我们的成员都比较年轻，你可以请曹老师分一下工，每个人写一部分，我想没问题的。 贾朝华：那太好了！ 王雪平：我来介绍一下法国那边的博士生培养制度。我在那边读书的时候，有两种学位，一种是学校的博士学位，另一种比较高级，是国家博士学位。现在和美国基本上拉平了，博士学位基本上都是四年。第一年读些基本的课程，读完以后考试，通过考试，给奖学金就看成绩。法国大学前三年是学士，第四年是硕士，完了以后进入博士阶段。我们那年开的是：无穷维动力系统、泛函分析、微分拓扑引论，还有一门谱分析方面的课。学生要通过这四门课的考试，成绩优秀，就可以开始写博士论文。 1994-2000年，在法国西部搞博士点。法国政府强调地方化，博士点不能跨地区搞，教育部制定政策，我们就回到南特地方，跟材料、信息、力学一起搞博士点，所以，我们规定，每个专业方向每年要开一到两门理科学生都能听的课。我觉得也挺好，一个是讲的人要会讲，第二是学生们很开眼界。我们的学生听物理、力学方面的课也挺好，正好可以弄懂其中的数学模型是怎么出来的。 张平：我正在和王老师联合招生。 贾朝华：他们已经运行了多年的成功模式我们可以借鉴。（对赵开明）加拿大是怎样一种方式？ 赵开明：各个学校也都不一样。每个学期他们邀请两名教授去作报告，面向外行人和本科生的。从很初等的讲起，一直到最近的研究。因为隔行如隔山，不能光讲你的研究，那样听众就会少掉3/4。 研究生入学主要看本科的成绩。硕士研究生有两种。一种是不做论文，念一篇文章，写一个体会。另一种要写毕业论文，上课给学分，不写论文的话，就要多学两门课。他们两年就毕业了，自己还要作助教，挣一部分钱。硕士毕业后相当一部分人在社会上找到工作了，或者有些人自己没有兴趣再去读博士，找个教书的地方或到工业行业。剩下的一部分人读博士，到毕业时不一定都能做得很好，有相当一部分就改行了。实际上，只有很少一部分人从事研究。现在国外真正搞基础数学的人很少，因为工作不好找。国内目前倒不是这样，各个学校都在招生，每个人都在招生，这种情况可能持续不了很久。 博士的培养也有不同的方式。国外有的老师，学生一进来就给一个题目做，学生就得自己去找资料、和导师讨论，三年下来也能做出些东西。另外一种方式是，先念一些基础的东西，然后再去找题目。 贾朝华：这和国内也差不多嘛。国内课程多一些，这个分、那个分地卡着。 赵开明：我想国内这种情况更好一点。基础课让你多念一点，从长远来看是有好处的，因为上来给你一个题目做的话，路子会限得很窄。 从研究制度上来讲呢，加拿大跟美国不一样，倒跟中国更接近。它那里的研究人员只要稍有点研究工作，就可以拿到基金，多多少少，几乎人人都有，但是大的基金很少。 贾朝华：高福利国家大概都是这样，竞争不太强烈，大家都有份。 徐飞：中国大概不象它那么容易，基金委的项目即便是面上项目也不容易，有点像美国的味道。 赵开明：但中国比美国又要容易一点。在加拿大，一直拿基金的人就很容易再拿，只要两、三年出一篇文章就可以保证你继续拿基金，但可能数量不是很多了。做基础数学的，最差的每年有五千块，最好的也就两万多块钱，相差不大。 张平：美国每年的基金申请，据说必须保证有20%的新人。 赵开明：基金容易拿也可能培养一些懒人，大家不是很积极地去写文章。但另外也有一个好处，那样压力小了，教学上可以放重一点。 张平：最好像法国一样，每年在数学学科方面只有一到两个IUF（相当于美国的Young investigator和中国的杰出青年基金），其余的大家基本上都没有个人基金。 赵开明：对，但他们工资足够了。 张平：工资当然足够了。王老师是法国的一级教授，工资有多少？ 王雪平：法国工资不高，也就每月四千多欧元。 贾朝华：那你们出来都是自己花钱吗？ 王雪平：一般是花实验室的钱，国内走走没关系，但国际机票一般都要另外申请。 贾朝华：目前国内的情况有所改善，有一部分人自己可以从基金里出机票，对方给点当地的费用就行了。 张平：法国对外面邀请的人还是比较好，他邀请你去开会还是给机票的。 王雪平：也要看人的。 贾朝华；国外数学家平常的业余生活，比如星期六、星期天都干些什么呢？ 王雪平：每个人是很不一样的。 赵开明：工作狂也有，我认识那么几个。但多数人不是工作狂，一般周末都要陪老婆孩子。 徐飞：我想我们大家周末还是干活，是吧？不然没什么事情可做。我就是下午打打乒乓球，没别的爱好。 曹道民；我们现在还没有形成象国外那样周末度假的习惯。另一方面，我们这个年龄段的人通常都有小孩。现在小孩学习任务很重，周末要做家庭作业。这样大人也不愿意把小孩放在家里学习而自己到外面休闲。 赵开明：是不是工作压力的问题啊？我想周末80-90%的人都在工作。 徐飞：也不完全是，可能因为前些年养成了习惯。 曹道民：去旅游到处都是人，现在旅游设施不是很完善，服务态度也不是很好，去了很可能是花钱买罪受，可能这也是我们不愿去外面过周末的原因。 王雪平：一到周末，大家都带着小孩出去玩。 贾朝华：国内到了周末，小孩都要去学画画、钢琴、捏泥巴什么的，大人得陪着。课都是正规的，老师指点一下还就不一样，捏个泥巴出来还挺艺术的。 张平：我儿子刚开始对钢琴还挺新奇，现在回来老是不练，但他妈妈逼着他练。 赵开明：大概国内和国外方法上不一样。我想国内注重知识的传授，国外重视培养动手能力。国外从小就有各种手工，到了初中，木工、钳工、管工都要学，国内哪学那些东西啊。他们真正数学学得很少，在美国、加拿大，高中毕业后，数学差得很，没法和国内比。 贾朝华：国外将来也有个问题，科学家这个层面上的都是外国人。 赵开明：它也有个别爱好的，那是真爱好，但大众都不行。我在威斯康辛教过书，现在在滑铁卢教书，按规定学生的不及格率不能超过10%。这样算的话，平均三、四十分你就得让他过了。我觉得我们六十分及格的话，要比他们卡的严格得多了。 贾朝华：国内人多，要有个竞争。 徐飞：他们主要靠普及程度。 赵开明：要说学生质量的话，纯粹从数学角度来看，在高中毕业以后，国内的学生比美国、加拿大的要好很多。如果从动手能力来讲，在做试验方面，那边要强。 贾朝华：他们那边兴趣引导更多一点，咱们这里更多的是责任什么的。（对王雪平）你们在国内访问，周末都到哪里参观呢？ 王雪平：我在中国呆了很多年，到处都很熟，外国人来了后我带着他们去参观。很多学问做得很好的人，周末、假期基本上都在做研究工作。国外的学术活动都安排在假期，9月份到5月份都在上课，活动大多安排在6、7月份。我知道一个搞得很好的数学教授，度假的时候，他妻子到海里游泳，他弄个躺椅在海滩上看书、演算。 贾朝华：看来职业化了以后都差不多。 王雪平：我知道好几个做得很好的人都是很花功夫的。 徐飞：这是正常的，应该是这样，只有下功夫才能写出好文章。就像对待一个作品一样，不花心思很难做好。 比如，有一位日本数学家Kato，做得厉害的时候?#####诎旃依铩?他工作做得非常好，写的东西也非常有趣，他在他的一些作品里面还要写一些日本的寓言。他完全沉浸在自己的那个世界里面，不能自拔。我想他地位已经很高，不会存在什么压力，做数学完全是因为爱好。做数学最好的境界是业余数学家的境界，业余爱好是最高的境界。 贾朝华：（对曹道民）应用数学方面是否交流、会议比纯粹数学要多一些？ 曹道民：我想我们中国的应用数学和纯粹数学差不了多少，但即使这样的话，可能需要交流的也还是要多一些。比如，搞方程的结果比较多，如果不常交流的话，大家做重的概率可能比较大。 赵开明：在现代数学里，这种情况发生得很多。同样的一个问题，即使几年以前你做了，他再做一遍也照样发表。到后来大家才知道。 徐飞：五年以后才知道都有可能。只有重要的工作大家才注意，一般的工作不会那么注意。 赵开明：这种情况已经不奇怪了，不能算哪个人剽窃哪个人的。 曹道民：现在杂志很多，发表的论文也很多。有时审稿的人不可能了解得那么全，自己也不可能了解得全。 赵开明：我有一个例子。我的一个加拿大合作者，2002年来开会时告诉我，他有一个很好的结果，很奇怪二十多年来没人能证出来。两年前他又告诉我，那个问题1980年就有人做了。他的文章发表在一个很好的杂志上，出来之后人家告诉他这个结果已经有了。这个人做得很出色，知识面也很宽，但都会有这种可能。 贾朝华：（对徐飞）有一次团队活动时，王跃飞问你一个动力系统中与代数数论有关的问题。后来，大家聊一聊，查出来是一个与Schinzel一个未解决的著名猜想有关的问题。如果没有交流，一个人可能会花很多冤枉时间，可见团队的交流是有一定成效的。 徐飞：我就讲数论。数论在信息安全上有很好的应用，如编码、密码，应该多注意，培养一批人。现在计算机的发展、信息安全的发展是不能疏忽的。 贾朝华：你们现在计算机用到什么程度了？计算机对解析数论还真有用。 赵开明：你用得很多么？ 贾朝华：用得挺多的。在数论中，筛法就是一个主项、一个余项。主项可以化成积分，相对来讲不重要，但你常常要算它的数值。一旦卡在这儿了，会花掉很多时间。20多年以前，常常用Taylor展开来算的，比较费事。到了大约1990年，我们可以用Casio计算器，就省事多了，它可以计算单重积分，有一些二重积分又可以化成单重的。现在有些主项要涉及八重积分，怎么化也化不出来了，非得用计算机不可。 徐飞：但这里有个问题啊，就是你能不能相信计算机？ 贾朝华：是啊，这也是个问题。但你要是不相信计算机的话，很多问题就没法做了。 徐飞：我觉得这中间逻辑上有一个互相矛盾的问题。一方面数学依赖计算机，另一方面计算机又依赖数学，有点像循环悖论了。 赵开明：（对贾朝华）你用什么语言？ 贾朝华：我不用什么语言，就用现成的软件，直接将式子敲进去计算。 赵开明：用Mathematika，Maple之类的软件，你要分解一个因式，几百项一分解就分解出来了。你再用计算机展开的话，刚好就得到这个东西。展开很简单，可以直接验证。但有的积分就没法验证了。 贾朝华：有时候只能做个简单的上、下界估计，心里大概有个数。 赵开明：我们用计算机算过一个群表示的不变量，我们的方法是试验的方法，总共找出14个不变量，然后再去验证，把群的生成元素作用上去，刚好是这个东西。计算量很大。这种是属于可以验证的情况，要遇到不可以验证的情况就不大好弄。 贾朝华：其实，数学中很多东西都是重复的，好多推理并没有飞跃性的想法在里头，这些东西能不能都交给计算机去做？吴文俊先生的计算机推理理论要能结合进来的话，可能又会有一个飞跃。 赵开明：从这个理论的角度，可以推出一些新定理。 贾朝华：那就更高级了！PDE里计算机用得很多吧？ 张平：他们应用数学方面的人用得很多，理论方面的人用得少一些。比如，3维不可压缩Euler方程的奇点问题，有的人用数值方法算出来有奇点，有的人算出来没有奇点，你到底相信谁啊？方法不一样，算出来的结果就不一样。现在有关3维不可压缩Navier-Stokes方程计算也是一样，有人认为它是抛物型方程，肯定没有奇点，另外有人说它肯定有奇点，说此方程和Euler方程很类似。现在大家都不知道粘性对Navier -Stokes方程光滑解有什么用。 曹道民：也有一些用计算机象搞实验一样的，模拟一下。也可以通过计算结果来试一下自己的想法是否正确。 张平：一般来讲，比较稳定的东西，不管怎么算，算出来都差不多。而不稳定的东西，你用差分的方法来计算，当然算出来的东西误差就比较大了。现在偏微分方程最有意义的问题之一即是3维不可压缩Navier -Stokes方程的光滑解，很多东西都还是不清楚的。 徐飞：这个问题不光是一个一百万元的问题，而且它在工业上还有其它地方都有很重要的应用。 张平：应用是另一回事，应用不可能是整个空间。现在Clay研究所的问题是3维不可压缩Navier-Stokes方程有没有奇点？除了一些特殊情况外，结果很不清楚。如果雷诺数比较小的时候，也就是粘结系数比较大的时候，该方程有整体光滑解。 徐飞：这个问题怎么提啊？ 张平：就是Navier-Stokes方程一般光滑初值有没有光滑解？要么证明它在有限时间内产生奇点，要么证明它有整体光滑解。 徐飞：这个问题还是没解决，是吧？ 张平：各个时期的很多非线性分析方面的大师都企图用他们熟悉的工具研究过此问题，但还是搞不清楚。 徐飞：现在这个方程变得象数论中的黎曼猜想一样了。 张平：人家现在把Navier-Stokes方程的结果看成像数论一样，变成一个一个的猜想，如果假设有什么东西，就会成立什么东西。如果这样的结果对别的方程来作的话，恐怕很难发表了。但Navier-Stokes方程是个例外。 赵开明：就说科研方面，国内外大体上也差不多。年轻的时候，大家都狠着干。国外年轻人在拿到永久职位之前，拼命搞科研。一旦拿到永久职位，系里也需要你做一些服务性的工作，象做系主任、副主任了，一些委员会你都要去参与。（对贾朝华）象你这样在编委会工作，肯定会占去不少时间了？ 贾朝华：原来比较轻松。今年改版以后，走向正规化了，事情就要多一些。 曹道民：我知道台湾有一本叫《数学传播》的杂志，其中有一个栏目，专门采访到它那里访问的知名学者，通过一问一答的形式，要被访者介绍自己是如何走上从事数学研究和教学之路的，在科研和教学中的心得体会及一些轶事、趣闻等。这是一个很好的途径，我们也可以这样做。 贾朝华：好！《通讯》是一本通俗性的杂志，我们要请数学家们来谈谈数学和数学圈内的事，记录这个时代数学家们的成就、理念、思维、语言等，反映数学家们的使命感和时代精神。再过十年回过头来，看看当初是怎样工作、思考、生活、怎么说话，也许挺有意思。谈数学文化方面的事，要比较轻松，有时要能将一些深入的话题谈得通俗易懂。谈话类节目往往是受欢迎的，我们打算以后再作一些，今天算开个头。 赵开明：建议以后谈谈研究体会、研究方法，每个人的研究方法肯定都不一样。 贾朝华：好！以后我们再找机会好好聊。谢谢大家！ November 07 刘克峰的快乐数学人生刘克峰:快乐的数学 刘克峰1965年12月生，现任浙江大学数学中心执行主任兼数学系主任、光彪讲座教授、美国加州大学洛杉矶分校数学系教授。专业方向：微分几何、拓扑、数学物理。 刘克峰教授先后在国际一流杂志上发表学术论文70余篇。现任国际顶尖数学杂志《C o m m u n icatio n s in A n aly sis an dGeometry》（几何与分析通讯）主编。他荣获了全球华人数学最高奖“晨兴数学金奖”和2004年国家教育部十大科技进展。他还获得了国际上著名的谷庚海默奖、全球华人数学家大会银奖、Sloan奖、Terman奖等。 这是我第二次走进光明日报的光明讲坛，也是第二次来嘉兴学院。第一次来光明讲坛是在2006年跟丘成桐先生一起，我讲了“丘成桐素描”，简述了丘先生的生平和成就。第一次来嘉兴学院是2004年与93岁高龄的陈省身先生一起，参加我们组织的“西湖青年数学论坛”。 那是陈先生最后一次来杭州和嘉兴。我们一起度过了许多非常愉快的时光，许多场景至今历历在目。那一年12月陈先生去世，我写了纪念文章“我们都属于陈类”，讲述了他对我的许多影响。很荣幸能有机会在“省身讲堂”与大家交流。 我是一个各方面都很普通的人，由于各种原因取得了一点成绩，而且人生的前二十年在中国，后二十年在美国。自己在国内读了中学和大学，在美国拿了博士。教过不少美国的学生，也教过不少中国学生；自己既做过好学生，也做过坏学生；教过很多好学生，也教过不少坏学生；做过好老师，也做过恶老师；在数学上和生活里有一些自认为成功的经验，也有许多失败的教训。在座的同学如果从我的经历里得到一些经验，我想今天的演讲就达到目的了。 我的生活、学习与研究的经历 我的小学、中学都是在开封和天津的农村和郊区上的，父母也只有小学文化。我初中三年级才开始接触英文。至今还记得小学一年级坐过的泥土板凳和照亮的煤油灯。但河南农村小学、天津的郊区小学和中学却培养了我独立思考问题的好习惯。上初中和高中时，因为没有人讨论，所以自己经常会为一个问题苦思冥想几个星期。这种习惯是做研究必不可少的。现在我会时常为一个问题思考几年不觉得累，而且会觉得很享受。 数学竞赛有很多弊端，却激发了我对数学的兴趣。中学数学竞赛的一次失利对我影响极大，也激励我更加努力。我自学了高中、大学里的不少数学，开始时似懂非懂，可即使如此，再看中学数学就觉得非常简单了。所以，我觉得高考应该有一些微积分的知识，因为微积分某种意义上是集初等数学之大成，是现代科学最不可缺少的工具，越早接触它对自己未来的发展就越有利。 小学时，我们“开门办学”，夏天去田地里拾麦穗。考试开卷，自己编写考试题目。由于课程轻松，我大部分时间是与小朋友们四处玩逛。现在想想，这却与美国的小学教育很有一些相像之处。如今，与我同时代的不少朋友在国内外各行各业都做得很成功，大家并没有觉得小时候少学了什么。我现在每每看到国内的孩子们被考试、习题折磨成蔫蔫的样子，心里总觉得不是滋味。 1976年我小学毕业的时候正好遇上唐山大地震，我们曾在露天里，把黑板挂在树上上课。今年的汶川大地震给了我更多心灵的振颤。这两次大地震对中国都有划时代的意义。1976年正是中国改革开放的前夜；2008年将会是中国空前团结和强大的里程碑。 海外的游子们尤其感受到了中国的进步，民族的团结与强大。这跟我20年前到美国去的时候完全不一样。那是在我读书的时候，连香港、台湾的同学说起大陆都有不屑的样子，美国媒体里中国人的形象也大都很负面。当时我们太穷太困难，现在的情况是天翻地覆，世界上对中国的尊敬从各个方面体现出来，包括美国的媒体、好莱坞、娱乐等各方面对中国的描述也完完全全地改变了。这种改变令我们更加觉得作为中国人的自豪。 我不到16岁上大学。在北京大学读书的四年里，数学上没有太多进步，玩得太多，写了几百封情书追求我现在的太太。但大学里7个人一个宿舍的经历却磨练了我的个人生活能力。而当时我们班上学习最好的两个同学，都在1988年前后来美国名校读书，毕业后由于生活事业上的一些不顺利，都自杀了。我想，这是经不起生活坎坷的磨练。其实许多坎坷回头看来都根本不值得一提，如果能够咬牙克服过去，事后回想起来也许是自己人生的宝贵经验和快乐回忆。我经常告诉我的学生们，中国人并不比别人聪明，我们最大的优势就是韧性，那是我们文化和人性的根基。屡挫屡战，能够在大大小小的失败里站起来才是真正的成功者。 在大学的时候，我们大都不知道什么是现代数学研究，以为就是做习题和考试。这使得许多学生，包括我自己失去了进一步学习的热情和动力。所以现在我带学生，都会让他们尽早接触现代数学研究的前沿知识，让他们有新的努力方向；让他们尽量多学各个方面的数学知识，有自己开阔的眼界。 我真的知道什么是现代数学是在1985年，陈省身先生在南开举办的暑期班里，我似懂非懂地学习了一些当代的几何拓扑知识。印象最深的，就是陈先生讲座中提到的陈示性类和指标定理。暑期班以后，我反反复复地读在暑期班里没有学懂的陈先生指定的两本书，由此也开始体会到“学而时习之，不求甚解；每有会意，便欣然忘食”的愉悦感觉。那一期的暑期班培养了好几位优秀的数学家，如张伟平、周向宇、方复全等，他们都是当今中国几何拓扑学界的领袖人物。 我在中国科学院研究生院读书时，同学中有南开的张伟平院士、中科院数学所的周向宇所长等。那时很少有机会能听到前沿的课程。我们自己组织讨论班，报告陈示性类、指标理论、莫代尔猜想等等。开始还无法完全弄明白，但是却开阔了眼界，至少知道了什么是“好的”、值得学习的数学。这对每个人来说都是非常重要的。我觉得学生们最需要培养的是对数学的鉴赏力，让他们知道什么是好的，有用的数学才是最重要的训练。 1988年我来到哈佛大学攻读博士学位，让我感触最深的就是那里的教授和学生们勤奋工作和学习的作风。许多著名的大教授，如鲍特、辛格当时都七十多岁了，满头白发，却每天出现在各种讨论班里，像年轻人一样上课问问题。丘成桐先生也一天到晚坐在研究生的课堂里。现在国内最缺少的正是这样一种风气。 我想，一流的大学其实就是这样，并非一流的大楼和最先进的计算机，而是一流的研究学习氛围。然而，推动老师学生们如此投入的是他们对数学的好奇、热爱和对知识的渴求。哈佛举办各种讨论班，老师学生们都非常积极地参加，座位不够了，甚至坐在地上。那时的我感觉就好像一头扎进了知识的海洋，每天早晨都感受到不同的阳光，那是非常令人兴奋的日子。 美国顶尖大学里对研究生的培养就像是把人扔到水里学游泳。教授们通常不太管学生，让学生们互相促进。在那样的氛围和知识的海洋里，每个人都会自觉地非常用功，争取游到成功的彼岸。我在浙江大学数学中心也努力创造这样的氛围，经过五年的努力，已经初见成效。 1993年从哈佛毕业后，我先后在麻省理工学院、斯坦福大学与加州大学洛杉矶分校任教。近五年来我把大部分精力投入到浙江大学数学研究中心与数学系的建设中。 我感觉到，数学的未来在中国。因为中国人做数学就像中国人打乒乓球一样有优势，我们在这方面是有特长的，可以做得很好，发展得很快。数学需要聪明人，我们十三亿人口中绝对不缺优秀的人才。数学不需要太多的投入，只要有一个好的图书馆，把一群好的年轻人聚集在一起，让他们无忧无虑地讨论数学，有五年到十年就会大见成效。如果说国内那一门学科可以很快成为世界一流，我相信数学是最有可能的。其实中国能成为体育强国就是五十年代从乒乓球抓起，以此来带动其他体育项目的。我觉得我们的科学发展也应该从数学来率先突破。它们的共同点是投资少，见效快，又很合乎中国人的天性。我们投这么多的钱在足球里面，还不如投到数学里面，如果这样，中国的数学将很快是世界超一流的。我想，数学家们肯定不会让老百姓揪心的。 中美教育应该互补 我觉得应试教育是一种训练机器，把孩子的灵性和能力磨掉了，只有对习题和考试的被动回应。我们一些老的体制和观念对我们发现和培养人才也是很大的障碍，尤其对有鲜明个性的学生，我们的老师压制多于鼓励，只是希望他们听话，并不鼓励他们的个性和好奇心。其实，许多优秀的学生，我们只需要把他们引导到正确的学习研究轨道上，他们很快就会非常出色。据我了解，我们的中学老师、家长们都明白问题所在，但却往往身不由己地跟着恶性循环。家长们既心疼孩子又要强迫他们去随大流拼命。许多有条件的家长宁可忍受分离之苦把孩子送到国外读书，以此来逃避国内的各种考试，这样的牺牲却未必值得。 我们的孩子们从小就开始参加“奥数”，他们中许多并非为了兴趣，而是被逼无奈。奥数竞赛本身用意很好，可是物极必反，被许多学校和家长们用作进入好的中学，好的大学的工具。奥数获奖者的人数和进入清华北大的人数成为许多学校的金字招牌。太多的功利因素把奥数变成了进入好学校的工具，而不是用来激发学生们的兴趣。奥数免试制度显然弊大于利，作为入学的参考应该会有更好的作用。一些大学每年为所谓高考状元的竞争更是白热化。不少老师也知道这样做不对，可还是要做。其实大学之间应该是比较培养成功的人才数量，而不是比较哪一个招收了更多的所谓状元。招收很多人才却培养不出来就是大学教育的失败。 中国学生们十几年的中小学生涯就是把进入最好的大学作为人生的目标。父母、学校还有学生们往往忘记了大学只是人生奋斗的开始。而对于我们今天的学生，大学却变成了人生奋斗的终点。 美国的教育恰好相反。学生们一直到高中玩得很多，尤其美国孩子更多地是在体育、才艺等其他方面发展。学校里的功课相对简单，数学教育更多的是灌输知识，而不是技巧。但他们的教育方式有非常好的一面，如从小学开始就给一些研究性质的项目要求学生自己找资料，总结整理并在班上演讲。老师也鼓励学生主动回答问题，多与同学交流。这是非常好的研究和学习训练。我们是读研究生的时候才开始这样的训练，缺乏这样的“童子功”很影响中国学生在国内外的事业发展。不仅要做出好的成果，还要让别人了解并应用你的成果，这是现在做研究的必经之路。 美国大学的选拔方式也是全方位的，包括独立思考能力、社会责任感、团队精神、体育才艺等等的综合评判，考试成绩只是参考指标的一部分，而且入学考试有几次机会，并非像国内一样一次考试定终身。这对学生的全面发展非常有利。 美国的中学生们到了高中为进入好的大学大都非常用功。据统计北加州三分之二的高中学生缺乏睡眠和营养，各种协助学生申请大学的机构也应运而生。由此可见学习的刻苦，竞争的激烈。我女儿上高中时就经常学习到深夜来准备转天的考试，在大学里更是紧张，还要开始为自己以后的生活和工作考虑。他们从此上紧了人生的发条。上大学以后他们能够更加成熟地思考自己的人生，许多人知道要为自己的未来而主动用功。 我们的孩子们该玩的时候没有玩够，从小就是在为父母们用功，磨灭了天真。所有的理想都是父母和社会强加给他们的，并非他们自己的意愿。一旦进入大学，离开父母，他们就往往不再有用功的动力。过度的机械训练让他们对科学完全失去了兴趣，而沉迷于小时候没有玩够的各种游戏。 我觉得中美教育各有所长，也各有所短，都有合理和不合理的地方。中国的教育注重基础和技巧，但为了升学进行魔鬼式的考试技巧训练有害无益。美国一般的中学教育又显得过于放纵，不少数学老师本身水平就很低。但由于美国有许多各种水平的大学，这保证了各种水平的学生都有进入大学的机会。中学也一样，大量的与多样化的中学给了学生们各种升学受教育的机会。美国学校的另一个优势是他们可以雇到全世界最好的老师，招收到全世界最好的学生。这保证了美国优秀大学的研究和教学水平总是在世界前列。随着经济的发展，中国也渐渐地具备了这样发展大学和研究的实力。我相信更多的大学，包括高水平的私立大学与教学研究的国际化，集世界的英才为中国服务，将是中国教育的发展方向。 我在美国大学里教书发现，在每个大学里，即使哈佛，尽管有许多非常优秀的学生，但也有基础非常差的学生，这说明美国招生制度也有弊端。如何将中美教育的优势综合起来培养我们的学生也是我经常思考的问题。我接触了不少美国的研究生与大学生，注意到他们的共同点是非常自信，与老师相处非常坦然，讲课条理清楚，这应该是他们从小训练的结果。他们的不足是缺乏韧性，全凭热情做事，生活和研究中一旦遇到稍大的挫折就会立刻向其它方向发展。当然，美国社会也给了他们各种转行的条件。 中国的学生基础扎实，勤奋用功，但一般比较害羞，对老师过于恭敬和崇拜，有时对自己的观点缺乏自信，这阻碍了他们的创新能力。他们的表达能力也相对有些欠缺。在国外许多中国留学生没有成功，甚至完全失败，并非他们天分不行，而往往是性格因素和生活能力造成的。其实他们中许多人在研究中取得了很好的成绩，却不能很好地适应社会。据我个人的经历，现代社会中一个人的成功与否与“情商”的关系明显大于“智商”，最聪明的往往不一定是最成功的。好的数学证明常常是经历了几十个甚至上百个失败的尝试之后才找到，所以一个人经受挫折的韧性往往是成功的关键。我的导师丘成桐先生也经常教育我们，要不屈不挠、屡败屡战才能成为真正的强者。 由于长期的考试训练，国内的许多学生很难适应由读书走向研究的过渡阶段，我发现许多优秀的学生在这一步上垮掉了。不少考试的尖子一旦觉得自己的研究不如同学，又会产生极端的嫉妒或者自卑情绪。前几年这在国外的中国学生身上表现极为突出，甚至有自杀和杀人的例子，包括在哈佛和麻省理工学院等名校的学生。 我们的独生子女过分地依赖父母和老师，他们在适应集体生活与研究等方面的问题似乎更加严重。这是我们作为老师和家长都要面对的问题。 “法乎其上，取乎其中” 关于学习的方法和对数学的兴趣，我个人的经验是，数学学习应该遵循“法乎其上，取乎其中”的方式，这是事半功倍的好方法。比如学习微积分的知识用来解决许多中学数学问题就非常有用。我初中二年级时数学曾经很差，但我似懂非懂地自学了一些高中数学，再回头来看初中数学，就觉得非常容易。同样我高中时自学了一些大学的数学，中学的数学题就不在话下了。我希望大学生们尽早了解研究生阶段的知识，而研究生则要尽快开始研究训练。技巧训练也很重要，但不要为技巧而技巧，做题的目的是为了掌握知识。而兴趣则往往产生于能够解决困难问题的成就感。在具体的学习过程中，我教导我的学生要上课前预习，课堂上认真做笔记，课后认真复习做习题。采用这样的三部学习法可以有效地提高学习效率。课余时间还要读些课外书，尽量拓广自己的知识面。对于研究生我要求他们在学习过程中要连奔带跑地冲到研究前沿，论文和书籍要一起看。只有读了论文，开始做研究了，才知道什么样的数学有用，应该下功夫，要尽量少做无用功。 我们的教育体制有许多要改进的地方，除了中学里有太多的考试，在大学里，有些老师的知识就过于陈旧和狭窄，而且不努力学习新的知识，更不可能拓宽学生的知识面了。许多学生也动辄以能做上万道习题为荣，或者早早就把自己限制在某个狭窄的研究方向上。这样的教育只能培养给别人打工的工匠，不可能培养出真正的科学家。我觉得对数学专业的学生而言，要首先拓宽眼界，不仅在数学的各个学科之间，更包括物理等相关学科，然后再尽可能地融会贯通，激发出想象力。 五年前，我来到杭州为浙大数学中心与数学系工作。我和我的朋友们觉得最重要的使命之一就是发现与培养人才。我们意识到了上面提到的各种各样的问题，除了呼吁社会的关注，我们也希望通过我们的努力来改变这种状况。为此，在丘成 桐先生的倡导下，得到泰康人寿保险公司、美国著名的坦普尔顿基金会和香港新世界集团的慷慨资助，我们设立了面向全世界华人研究生、大学生、中学生的数学奖。不仅奖金非常优厚，而且与哈佛、哥伦比亚等名校联系合作，希望以此来鼓励学生们的研究与创新，让学生们把学习和研究尽早结合起来，尽量减少过多的考试带来的负面效应。希望丘成桐中学数学奖能与奥数良性互动，一起促进国内人才的挖掘与培养。 这几年在国内工作，我们尽量用自己的成功经验来培养学生，避免他们重犯我们曾经犯过的错误而能够取得更大的成功。在浙大我们创建了丘成桐数学英才班，其模式也是“法乎其上”理念的实践。我们请到国内最优秀的老师给丘成桐班上课，希望学生们以最快的速度走到现代数学的前沿。其实我们并不缺乏优秀的学生，我们缺乏的是优秀的老师和好的教育方式。好的老师往往把复杂的理论讲得简单，并激发学生的兴趣，而差的老师却会把简单的问题讲得复杂，让学生失去自信心。我现在每星期都能收到一些年轻学生的邮件，向我诉说他们对数学的热爱，许多都很令我感动，也更加让我感到自己的责任。作为老师，被学生与家长们寄予厚望，如果不能把优秀的学生培养成材，就是最大的资源浪费！ 从研究生开始，我一直有幸遇到最好的老师：早年的钟家庆、王启明、陆启铿先生；以及后来的陈省身、丘成桐先生。钟先生与王先生的学问和人生都是踏踏实实、朴实无华。陆启铿先生对人对学问都是执著真诚。他们都深深地影响了我。至今还记得，当年与周向宇教授一起，在陆先生家里挂着小黑板上讨论的情形。 陈省身先生对人对学问都有与众不同的看法。他曾经很得意地告诉我他对“仁”字的新理解。他认为就是“两个人的关系”。我想科学是应该最不讲人情的，对就是对，错就是错，可是中国却是一个人情社会。也许他晚年思考的问题，是如何处理好数学发展与人际关系的平衡。我们博士毕业的时候，丘先生与丘师母也谆谆教导我们要处理好做学问和做人的关系。注重友情和亲情是中华民族的美德，但如果没有适当的底线就会产生不好的影响。在国内的学校里，学科的发展也往往受到人际关系，特别是与领导关系的制约。 陈先生教育学生的方式是“放羊”，给他们提供好的学习环境，完全相信学生自己的能力，让他们自由发展。陈先生对“运气”的理解也有不少独到之处。 丘成桐先生无论做数学还是做人都是我的楷模，他是我们华人数学家的骄傲。1987年王启明先生写信给丘先生推荐我。1988年一月份丘先生用快件给我寄来哈佛的申请表，这完全改变了我的人生道路。 丘先生对数学的贡献，对朋友的真诚，对祖国的热爱，对中国数学的巨大投入都将载入史册。他培养学生也非常成功，他的学生遍布美国一流大学的数学系。哪怕你是研究生第一年的新生，丘先生也往往要求你尽快读懂最新的数学文献并在讨论班里演讲，这样一来学生们几乎是“连滚带爬”地走到了数学研究的最前沿，在研究中学习，在学习中研究，这是“法乎其上”精神最成功的体现。 数学与物理的交融 从我读研究生开始，我的研究工作就一直围绕着物理学中出现的几何与拓扑问题。物理学家需要数学作为工具，反过来他们又借助物理理论提出数学上的猜想，虽然物理学家的推导很多时候是不严格的，但是这些猜想往往最后都被证明是正确的。这是非常令人感到惊奇的！ 数学和物理学的相互交织造就了科学史上的多次革命，大家熟知的有：微积分与牛顿力学定律；广义相对论与黎曼几何。近年来的大小例子更是层出不穷，如量子场论、弦理论与数学的交融一直是数学研究的主流。这种交融极大地推动了数学的发展。弦理论是最有希望实现爱因斯坦梦想的大统一理论，与数学共同演奏出了最和谐美妙的科学发展篇章。 为了解决物理学家们提出的数学猜想，我们发展了全新的数学理论，发现了不同数学分支之间意想不到的联系。这些数学上的革命又为物理学的继续发展提供了严格的理论基石。 近20年数学菲尔兹奖得主的获奖工作，有一半与量子场论、弦理论有关。无论你研究哪一个方向，总会在弦理论中找到用武之地。而弦论学家们也贪婪和迫不及待地注视着数学中每一点一滴的新进展，迅速地理解并应用到他们的理论中去。这种交流激发了数学与物理学无尽的活力。这也使得我们有理由猜测：上帝根据数学公式创造了世界？但毫无疑问，数学是开启大自然的钥匙。 要指出的是，物理学家对数学的贡献不仅仅限于预测数学结论。很多时候，他们也用严格的数学语言为我们指出数学上重要的研究对象。威滕和瓦法是两位杰出的代表，他们的数学甚至要好过绝大部分数学家。有人形容他们就像从未来时空穿梭回来的一样，只记住了未来数学支离破碎的景象，凭着记忆叙述出来，成了挑战当代数学家的猜测。 威滕的经历对我们也应该很有启发。他大学时学习历史，还参加过美国总统的竞选写作班子。读研究生时才转到物理系而成为数学物理大师。这样成功的例子在国外很多。著名的拓扑学家瑟斯顿大学读的是生物系。大数学家鲍特大学时专业是工程。还有好几位著名的数学家都是大学二年级开始读研究生。这也是我们的教育体制需要学习的另一个地方——给学生们的兴趣创造条件，不能一次考试定终身。尽管有许多不合理的地方，我知道我们的大学体制正在朝着好的方向改进，学生培养模式也更加自由和灵活。 物理学家学习数学的方式也许值得我们借鉴，威滕他们大概从来不做数学习题，但却用最快的速度学到他们所需要的数学。哈佛大学数学教授陶布斯曾说，“物理学家先学指标理论，然后才是黎曼几何”。这也是“法乎其上”的学习方式。我觉得我们数学家不仅要时刻留意物理学的发展，更要注意物理学家掌握知识的技巧，那就是在研究中学习，在学习中研究。 物理学家特别青睐“无穷”，甚至有时候不惜以牺牲“严格性”作为代价，比如模群对称，大N极限的陈—塞蒙斯理论，路径积分。虽然费曼的路径积分还缺少严格的数学基础，该理论因其物理上的直观性和便于形式演算在现代量子物理中产生了深远的影响。这与微积分的发展有异曲同工之妙。正所谓“妙在无穷，美即有用”。这种不严格也给了他们无穷的想象空间。 数学上的每一次变革，都离不开新的思想与方法，以及不同分支学科的融会贯通。在历史上方法的本质变革往往使困难的问题变成练习题。无论做哪一门科学我们必须努力跟上并参与大的变革。这就要求我们在掌握丰富知识的基础上更具创造性地思考问题，才能在数学发展的前沿占有一席之地。数学与物理的交互作用无疑将是今后相当长时间里数学研究的主流分支。 作为数学家我们也要时刻关注物理学的发展，我自己还有我的一些合作者与学生都有每天浏览最新数学与物理文献的好习惯。了解物理学家新的想法对我们的数学研究很有帮助。从我的博士论文一直到我现在的几个研究课题都是与理论物理的发展密切相关。 我的博士论文是研究威滕基于量子场论提出的关于指标定理的刚性猜测，而我的证明用的是我从数论中学到的模形式理论，极其简洁而漂亮，其方法也被用于发现一些全新的数学定理。我与丘先生、连文豪一起证明的镜对称猜想，我与刘秋菊、周坚合作证明的马里诺—瓦法猜想，以及我与彭磐一起证明的瓦法等人提出的关于扭结不变量的代数结构与整性的猜想，都是由五种超弦理论间的相互对偶引申出的数学问题，这些猜想给出了无穷多难以计算的数学不变量生成函数完美的表达式和惊人的结构，它们的证明也解决了数学中一些长期悬而未决的问题，是我们单纯从数学角度来看做梦也想不到的。当然我们的证明以及发展的数学理论也为超弦理论作为大统一理论的正确性提供了更加坚实的基础。我相信数学也将很快能够与其他学科，如生物学和医学，有更加深刻和广泛的联系。 知识和技巧哪个更重要？ 我去美国留学时，随身只带了两本书，我想在分析与几何领域大展身手，就不需要学习别的了。1988年9月底,我走进丘成桐先生的办公室,开始了我在哈佛的学习生活。他问我，想开始做研究，还是想继续学更多的数学？我回答想开始做研究。丘先生却对我说，“你要尽可能多地学习数学，因为毕业以后要想学什么新东西就不容易了。”他让我学习代数几何、代数数论、几何分析等许多不相关的课程，有许多内容直到今天我仍然无法完全理解。但这却深刻地影响了我的学术生涯和人生轨迹。在当上教授以后，繁重的教学和科研压力让我体会到丘先生的话是多么的语重心长。 知识与技巧，到底哪一个更加重要呢？我的观点是，对年轻人而言，知识更重要！知识让我们站得更高，看到正确的方向，因为方向错了，一切努力都不会有结果。但是也要承认，研究中关键的突破往往来自于技巧上的创新。做个比喻，一个武林高手，学了很多门派的武功，但是内功不行，就容易走火入魔。大家知道丘先生在众多数学领域都有开创性工作，得益于他极强的分析功底及广博的知识面。现在国内热衷的中学生数学竞赛，就太过于强调技巧，而忽略了更重要的知识。 其实我们的学生从中学开始就应该接受多方面知识的熏陶，让孩子多看名人传记，培养对科学的好奇心才是上上之策。我最近读的牛顿传记就写得非常精彩。正是由于好奇心，牛顿大学二年级给自己提出了几十个有关大自然的问题，为了解决它们，他发展了微积分作为基础，进而发展了三大物理定律。爱因斯坦说过，“想象力比知识更重要”。可是没有深厚的知识底蕴，想象力也只能是空中楼阁。想象力就是将各种知识融会贯通而激发出的火花。所谓“天才”，就是脑袋里时刻放着七八个问题，在阅读文献，与同行交流的同时，不断用新学到的技巧和方法来分析这些问题，看能否找到突破，只要用心坚持，不断积累，总能解决掉其中两三个问题，那么别人就会觉得你是天才了。 如果你还是无法确信什么是好的数学，那么就去读大数学家的著作和文章，跟着大师走总是没错的，因为他们之所以成为大师，就是因为他们选择了正确的研究方向。在读书过程中要注意培养自己对数学的鉴赏能力，发展属于自己的技巧。后来在我研究中成为重要工具的局部化思想就是在国内学习与做硕士论文期间掌握的，当时是受威滕、鲍特等大师的文章启发。后来我用局部化思想来理解我所学到的一切数学知识，就像用一根线串起了许多珠子，有融会贯通的感觉。而我研究生涯的第一步正是得益于广泛的知识积累，把数论的知识用到了拓扑之中。在研究的过程中，我也更加深了对所学知识的理解。哈佛几年的学习，我觉得最重要的收获是开阔了眼界，提高了对“好的数学”的感觉和把握能力。“研究”的英文单词“research”，就是反复寻找，很好地体现了研究的本质。研究一个问题，要首先知道什么是已知的，什么是未知的，确定什么是需要自己努力创新的。丘成桐与杨振宁先生都有常在图书馆翻阅杂志的好习惯，不求懂，只为见多识广。丘先生更以“好读书，而不求甚解”作为广泛猎取知识的好方法。与其他学科一样，数学的每一点进步都是建立在前人工作基础之上的。可谓“开卷有益”！ 杭州是个圆梦的地方 2003年6月我来到杭州，成为浙江大学数学研究中心常务主任与数学系主任。上任时，丘先生对我和浙大领导说，我们办数学中心就要办世界第一流的，否则我们宁可不办。为此我工作的第一步就是要努力与世界的数学发展接轨，然而我的管理与研究理念却经常与国内的一些传统观念有冲突，常常要为此付出成倍的努力。另外，由于社会上对于数学和数学家的各种成见，也很难招收到优秀的学生。当时的数学中心只是一幢空空的大楼，举办学术活动也经常为没有学生来听而发愁。我们从一点一滴做起，五年来通过大量世界一流的学术活动，吸引了包括霍金、威滕、格罗斯等大批国际一流数学和物理学家来访。更有哈佛的教授斯图明格带领其学术团队来中心访问半年，开拓了国内数学界，特别是浙大师生们的国际视野。与哈佛学生的朝夕相处也增强了数学中心学生们的自信心。 经过五年的努力，浙大数学中心已经成为举世闻名的数学研究机构，数学系也成为国内最强的数学系之一。现在的数学中心已是由上百位教授、博士后、研究生与大学生组成的著名国际数学中心。这几年我们引进培养了一批优秀的青年数学家，包括国外名校，如麻省理工学院的毕业生，有的已经取得了世界一流的成果。许多世界名校的数学系，如哈佛、哥伦比亚、伯克莱、UCLA也更加关注并录取我们数学系和数学中心的学生。今年哥伦比亚就一下子录取了七位浙大数学学科的学生，这对浙大，对哥伦比亚都是史无前例的。五年来，我努力在数学中心为学生们营造我当年在哈佛的学习与研究氛围，这种努力已经开花结果。数学中心已经形成了良好的学术氛围，正逐渐成为中国数学的黄埔军校。杭州五年是我值得自豪的五年。几年的学习生活，我与杭州，与数学中心学生们的感情也越来越深。 杭州是个激发灵感的城市，既有美丽的西湖，也有深厚的文化底蕴。这几年，杭州给了我许多宝贵的人生历练。在我自己的研究工作上，五年来我与朋友学生们合作解决了几个著名的猜想。除了马里诺—瓦法猜想、丘成桐几何度量猜想，最近我与我的学生与朋友彭攀完成了瓦法等四位著名超弦学家提出的一个著名猜想的证明。此猜想给出了扭结不变量全新的代数结构与无穷多新的整数不变量。这是弦对偶理论中重要的猜想之一，把陈省身先生的陈—西蒙斯理论与丘成桐先生的卡拉比—丘流形的拓扑弦理论两个不同的理论完全等同起来。 今年我在杭州破格录取的博士生徐浩，与我一起发现并证明了模空间中著名的法波猜想。美国著名的克雷数学研究所与加拿大班福数学研究所曾经专门为此猜想举办了一周的研讨班，全世界40余名著名专家到会，足见此猜想的重要性。而就在这个国际研讨会举办前两天，与会专家们了解到中国浙江大学数学中心新近解决了这个世界著名猜想，这引起了国际数学界的震惊。徐浩的求学和研究经历也让我对中国数学的未来更加有信心。 学生们的成功是我这几年来最引以为傲的成绩，他们也极大地促进了我的学习与研究。我自己和我的学生们这几年在杭州的研究与生活经历也说明，国内的数学已经具备了走向世界一流的条件。这些优秀的学生让我自信浙大数学在未来的几年内会更加辉煌。我坚信不久的将来，中国将成为数学强国。我们也正在为这个梦想的实现而不懈地努力。 做数学家是很快乐的，做着自己喜爱的事情而且衣食无忧。数学家对整个社会和人们的日常生活都有很大的贡献。从计算机、互联网，到生命科学、金融业，处处可见数学的踪影。尽管目前在美国找工作不容易，华尔街还招大量的数学系毕业生，培训三个月就能胜任。诺贝尔经济学奖获得者中也有好几位是数学家。在生物学界也有 数学出身的诺贝尔奖获得者。好的数学基础可以为未来的事业发展提供更加广阔的空间。 对我而言，我想象不出一个更好的职业。我们可以在任何时候，任何地方与自己的朋友谈论我们喜欢的数学问题。数学就像是我们不离不弃的老朋友，一个人对数学的热爱与真诚总会得到 回报，那就是美好与永恒的定理，还有稳定而快乐的生活。爱因斯坦说，政治是暂时的，公式是永远的。我想，上帝应该是个数学家，因为大自然规律的最终和最完美的表达一定是数学方程式。证明一个漂亮的数学定理和公式往往令我们感到非常的愉悦和满足。不少朋友都说我已经功成名就，可以悠闲地采菊东篱下了。可我却觉得我的研究生涯才刚刚起步，有更好的定理在等着我呢。我现在最大的愿望就是多证明几个美妙的数学定理，多带出几个能做出世界一流成果的学生。作为老师，最开心的就是看到自己的学生们成长为一流的数学家。我现在尽我所能地帮助我的学生们实现他们人生的梦想，就像当年丘成桐先生、王启明先生帮助我一样。 二十几年来，数学帮助我实现了我所有的梦想，它已经成了我生命的一部分，是数学的魅力在牵着我走。几十年与数学朝夕相伴，我对数学有了更深的体会。我觉得从某种意义上讲，数学就是人生的一种感觉，这种感觉只有在宽阔的知识海洋里徜徉才能欣赏得到，这种难以言状的美妙感觉真是好啊！ |
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